È possibile utilizzare la legge di Gauss dellelettromagnetismo, (il flusso elettrico netto attraverso qualsiasi superficie chiusa è uguale a $ 1⁄ \ epsilon $ volte la carica elettrica netta racchiusa allinterno di quella superficie.) per calcolare il campo gravitazionale in un punto apportando determinati cambiamenti, cioè sostituendo il flusso elettrico con flusso gravitazionale, $ 1⁄ \ epsilon $ con $ 1 / (4 \ pi \, G) $ e pagare con la massa?
Commenti
- Vedi ad esempio Wikipedia .
Risposta
Sì, puoi usare la legge di gravità di Gauss.
$$ \ nabla \ cdot \ vec {g} = 4 \ pi \, G \, \ rho $$
o
$$ \ oint \ vec {g} \ cdot \ mathrm {d} \ vec {a} = 4 \ pi \, G \, M_ \ mathrm {enc} $$
dove $ \ vec {g} $ è il campo gravitazionale (equivalentemente, accelerazione a causa della gravità), $ \ rho $ è la densità di massa e $ M_ \ mathrm {enc} $ è la massa totale racchiusa dalla superficie gaussiana.
Quando si effettua il confronto n alla legge di Gauss per i campi elettrici, puoi vedere come le costanti funzionano nel modo in cui funzionano:
$$ E = \ frac {1} {4 \ pi \, \ epsilon_0} \ frac {Q} {r ^ 2}, \ quad \ quad g = G \, \ frac {M} {r ^ 2}, $$
quindi $ 1 / \ epsilon_0 \ rightarrow 4 \ pi \ , G $.
Un uso comune della legge di gravità di Gauss è determinare lintensità del campo gravitazionale a una data profondità allinterno della Terra. È molto simile al calcolo per il campo elettrico allinterno di una sfera isolante carica.
Commenti
- Nel mio post originale ho sbagliato le costanti … risolto
- In effetti la stretta corrispondenza tra il flusso di campo nel trattamento di Einstein ' a Newton ' s per un campo debole sfericamente simmetrico può essere dimostrato utilizzando questo approccio ' di Gauss.
Risposta
La legge di Gauss per la gravità afferma fondamentalmente che il flusso gravitazionale totale che emana da una sfera che racchiude la Terra è $ 4 \ pi GM $ .
Ora dividi questo per la superficie totale della sfera $ 4 \ pi R ^ 2 $ con $ R $ il raggio della Terra.
Il risultato è $ \ frac {GM} {R ^ 2} $ che fornisce il flusso gravitazionale densità. Se calcoli il risultato numerico, ottieni $ 9,81 \ mathrm {m / s ^ 2} $ .