Lindovinello della rana – Probabilità condizionali

Guardiamo la coppia di rane. I maschi vengono identificati gracidando nel video.

Come spiegato nel video, prima di sentire qualsiasi gracidio, ci sono 4 risultati ugualmente probabili se 2 rane:

• Frog 1 è maschio, Frog 2 è maschio
• Frog 1 è femmina, Frog 2 è maschio
• Frog 1 è maschio, Frog 2 è Femmina
• La rana 1 è femmina, la rana 2 è femmina

Facendo le ipotesi su maschi e femmine che si verificano allo stesso modo e indipendentemente, il nostro spazio campione è $ \ {(M, M), (F, M), (M, F), (F, F) \} $, e abbiamo probabilità $ 1/4 $ per ogni elemento.

Ora, una volta che sentiamo il gracidio provenendo da questa coppia, sappiamo che almeno una rana è maschio. Quindi levento $ (F, F) $ è impossibile. Abbiamo quindi un nuovo spazio campione ridotto indotto da questa condizione: $ \ {(M, M), (F, M), (M, F) \} $. Ogni possibilità rimanente è ancora ugualmente probabile, e le probabili La tà di tutti gli eventi sommati deve essere $ 1 $. Quindi la probabilità di ciascuno di questi tre eventi nel nuovo spazio campione deve essere $ 1/3 $.

Lunico evento che finisce male per noi è $ (M, M) $, quindi cè $ 2 / 3 $ possibilità di sopravvivenza.

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Più formalmente, la definizione di probabilità condizionale dice:

$$ P (A | B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (B)} $$ Quindi se $ A $ è levento in cui è presente almeno una donna e $ B $ è levento in cui è presente almeno un maschio, abbiamo: \ begin {align} P (\ text {F dato almeno 1 M}) & = \ frac {P (\ text {F e almeno 1 maschio})} {P (\ text {at almeno 1 M})} \\ & = \ frac {P (\ text {1 M e 1 F})} {P (\ text {1 M o 2 M}) } \\ & = \ frac {P [(M, F), (F, M)]} {P [(M, M), (F, M), ( M, F)]} \\ & = \ frac {1/2} {3/4} = 2/3 \ end {align}

Questo è davvero la stessa procedura che abbiamo seguito come sopra.

Commenti

• Ciao mb7744, grazie per la rapida risposta. Capisco la risposta così comè, tuttavia mi sembra un conteggio doppio, motivo per cui ‘ sto lottando per accettare la risposta. (M, F) = (F, M), sicuramente, e se no, perché?
• (M, F) e (F, M) non sono lo stesso evento. Se una rana si chiama Alex e laltra si chiama Taylor, Alex potrebbe essere la femmina e Taylor il maschio O viceversa. Alex e Taylor probabilmente non sarebbero daccordo sul fatto che questa distinzione sia priva di significato. Ora, potresti visualizzare i due eventi come equivalenti.Tuttavia, i tuoi tre risultati (M, M), (F, F) e (M, F) non sono ugualmente probabili. Laccoppiamento misto è due volte più probabile. Questa è la stessa ragione per cui è molto più probabile che tiri un 7 con una coppia di dadi piuttosto che un 2, anche se consideri tutti i diversi modi di tirare 7 come equivalenti.
• Ciao, penso questo aiuta a chiarire dove ‘ non ‘ ottenendo ‘ lindovinello. Se posso riaffermare il problema mentre ‘ lo vedo, sostituisci la rana con un lancio di moneta (o un lancio di dadi). Se dovessi lanciare due monete ed escludere determinate combinazioni, accetterei completamente la risposta. Tuttavia, nellanalogia dellenigma ‘, ho letto questo dato che otteniamo solo un lancio di moneta. Laltro è già stato creato e non può cambiare il risultato dellaltro. Non sapere quale dei due risultati è già stato determinato non ‘ ci permette di lanciare due monete e scegliere quali risultati includere o escludere. Quindi, usando lanalogia del lancio dei dadi …..
• … puoi tirare due dadi, ma a tua insaputa un dado ‘ il risultato è già stato deciso. Hai solo 1/6 di possibilità di realizzare qualsiasi numero 7-12. Mi sbaglio qui?
• Se guardiamo a tutte le coppie di risultati ugualmente probabili nel lancio dei dadi, lordine conta . Immagina che un dado sia blu e laltro rosso e scriviamo i nostri risultati con il dado blu prima e il dado rosso per ultimo. Quindi il risultato (1,2) non è lo stesso del risultato (2,1). E, come prima, la probabilità di ottenere un ” 1 e un 2, indipendentemente dallordine “, sarà il doppio di, ad esempio , facendo rotolare un paio di 2. Per la tua ultima domanda, presumo che volessi dire che il risultato di un dado ‘ è stato deciso essere 6 . In tal caso hai ragione.

Dato che la matematica è già stata stabilita, proverò a fornire un po di intuizione. Il problema è che sapere che almeno una rana è maschio è diverso dal sapere che una qualsiasi particolare rana è maschio. Il primo caso contiene meno informazioni e questo aumenta effettivamente le nostre possibilità rispetto alla seconda situazione .

Chiama le rane destra e sinistra e supponiamo che ci venga detto che la rana destra è maschio. Quindi abbiamo eliminato due possibili eventi dallo spazio campione: levento in cui entrambi le rane sono femmine e levento in cui la rana sinistra è maschio e la rana destra è femmina. Ora la probabilità è veramente la metà e non importa quale scegliamo. Lo stesso identico argomento è vero se apprendiamo che la rana sinistra è maschio.

Ma se ci viene detto solo che almeno una rana è maschio, che è ciò che accade quando sentiamo il gracidio, allora non possiamo eliminare il caso in cui la rana sinistra sia maschio e la rana destra sia femmina. Possiamo solo eliminare levento in cui entrambe siano femmine, il che rende più probabile che almeno una sia donna rispetto allimpostazione precedente.

Penso che il motivo per cui questo è confuso è che pensiamo naturalmente che impararlo almeno uno è maschio dovrebbe renderci poco inclini a scegliere la coppia di rane. È vero che questa informazione rende meno probabile che almeno una sia femmina, ma riconosciamo anche che cerano tre quarti pieni di possibilità di almeno una femmina prima di imparare qualcosa. È l ambiguità delle informazioni che riceviamo che fa sì che dovremmo comunque preferire le due rane alluna.

Commenti

• Grazie dsaxton, intuitivamente ho optato per le due rane, ma il mio ragionamento mi diceva che entrambe le scelte erano ugualmente probabili.
• Grazie dsaxton, ho il sospetto ‘ è il fraseggio dellenigma che mi sta lanciando. Come incontrato, le due rane non sono distinguibili (senza ulteriori informazioni), quindi non vedo la distinzione (M, F), (F, M) come significativa in questo contesto. Non sono convinto che il mio ragionamento sia errato, ma mi scuso se sono solo un po lento.
• Grazie ancora dsaxton. Come accennato in precedenza, ‘ ho trovato il blocco mentale che stavo avendo e ora posso vedere perché la risposta è la risposta giusta (e la domanda a cui stavo effettivamente cercando di rispondere). Grazie ancora per il tuo aiuto, vedere la risposta non è la stessa cosa che avere laiuto per capirlo davvero.

La tua intuizione è corretta in questo caso. Come viene affermato il problema, le tue probabilità di sopravvivenza sono del 50%. Il video indica in modo errato lo spazio del problema in base alle informazioni in nostro possesso e quindi giunge a una conclusione errata. Lo spazio problema corretto contiene 8 condizioni ed è il seguente.

Abbiamo due rane su un tronco, e una di loro ha gracchiato quali sono le nostre possibilità?(M indica maschio, F indica femmina ec designa gracchiato, la prima posizione è a sinistra, la seconda a destra)

[ [Mc, M], [M, Mc], [Mc, F], [M, Fc], (X No Male croak) [Fc, M], (X No Male croak) [F, Mc], [Fc, F], (X No Male croak) [F, Fc], (X No Male croak) ] 

Ogni caso è ugualmente probabile in base al informazioni che abbiamo, quando eliminiamo le condizioni data la consapevolezza che una rana maschio ha gracchiato. Troviamo che ci sono 4 risultati da aspettarsi. La rana maschio sinistra gracchiò accanto a una rana maschio destra che taceva. La rana maschio destra gracchiò accanto a una rana maschio sinistra che taceva. Oppure cera una rana maschio gracidante accoppiata con una sola rana femmina in entrambe le direzioni. Per un modo intuitivo di capire questo, le due rane maschi hanno il doppio delle probabilità di gracidare rispetto alla singola rana maschio abbinata a una femmina, quindi dobbiamo pesarla in modo appropriato.

Puoi anche dividere lo spazio di ricerca da rana gracidante (C) e rana non gracidante (N). Poiché la rana gracidante è al 100% un maschio, puoi eliminarla dalla tua ricerca poiché non ha alcuna possibilità di aiutarti a sopravvivere. Sebbene lautore intendesse creare un “problema di monty hall”, crearono inavvertitamente un “paradosso maschile o femminile”.

Le seguenti domande producono risultati diversi:

Dato che cè un maschio, qual è la probabilità che laltro sia femmina?

Dato che una rana maschio gracchiò cosa è probabile che laltro sia femmina?

Conosco più informazioni nel secondo caso

https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

Una risposta più chiara, poiché la precedente era troppo lunga e di non facile comprensione.

I possibili risultati sono diversi, anche se ho usato le stesse lettere. Per rendere più chiaro lo spazio campione, descriverò i possibili risultati

MM -> “Il maschio è a sinistra “-” Un maschio a caso a destra “

MF -> “Il maschio è a sinistra” – “Una donna a caso a destra”

MM – -> “Il maschio è a destra” – “Un maschio a caso a sinistra”

MF -> “Il maschio è a destra” – “Una femmina a caso a sinistra”

Commenti

• Stai contando due volte il MM Astuccio. Non puoi ‘ enumerare tutti i possibili scenari senza tenere conto del fatto che ‘ arrivi allo stesso scenario attraverso percorsi diversi.

Il problema che ho con questo problema è che la soluzione sembra utilizzare regole diverse per cosa considera un possibile risultato per le due rane maschio e femmina e maschio e maschio.

La coppia F / M e la coppia M / F sono diverse perché non sappiamo se la prima rana o la seconda rana è maschio, quindi F / M e M / F sono due possibilità separate, anche se il risultato equivale comunque a “una rana femmina, una rana maschio”.

Ma la M / M la coppia è considerata solo un possibile risultato, anche se dovrebbe valere la stessa logica: non sappiamo quale rana è quella che ha fatto il gracidare, quindi una delle due rane potrebbe essere quella che abbiamo sentito e laltra potrebbe essere ancora maschio , semplicemente non gracchiò.

Commen ts

• È più un commento che una risposta all ” indovinello. ” Modificalo in un commento ed elimina questa ” risposta. ”
• @DJohnson In realtà, questa è una risposta allenigma, anche se la risposta successiva di tomciopp lo spiega più chiaramente.

Non sapere nulla: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M), (F, F) \} $ . Tre coppie con almeno una donna su quattro possibili combinazioni: $ 3/4 $ o $ 75 \% $

Sapere che il primo è maschio: $ \ {(M, M), (M, F) \} $ . Una coppia con almeno una donna su due possibili combinazioni: $ 1/2 $ o $ 50 \% $

Sapendo che esiste almeno un maschio: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M) \} $ .Due coppie con almeno una donna su tre possibili combinazioni: $ 2/3 $ o $ 67 \% $

Prima di sentire qualsiasi gracidio, ci sono 4 risultati ugualmente probabili a 2 rane:

Frog 1 è maschio, Frog 2 è maschio

Frog 1 è femmina, Frog 2 è maschio

Frog 1 è maschio, Frog 2 è femmina

Frog 1 è femmina, rana 2 è femmina

Facendo le ipotesi su maschi e femmine che si verificano allo stesso modo e indipendentemente, il nostro spazio campione è {(M, M), (F, M), (M, F), ( F, F)} e abbiamo probabilità 1/4 per ogni elemento.

Una volta che sentiamo il gracidio provenire da questa coppia, sappiamo che almeno una rana è maschio. Questo maschio può essere ugualmente probabile Rana 1 o Rana 2. Quindi ci sono 2 risultati ugualmente probabili per la Rana 1:

La rana 1 è maschio

La rana 1 è Rana casuale

Facendo le ipotesi su maschi e femmine che si verificano allo stesso modo e indipendentemente, la rana casuale è ugualmente probabile che sia un maschio casuale o una femmina casuale.

P (la rana 1 è maschio casuale dato che la rana 1 è Random Frog) = P (Frog 1 è Random Female dato Frog 1 è Random Frog) = 1/2

P (Frog 1 è Random Male e Frog 1 è Random Frog) = P (Frog 1 è Random Rana) P (Rana 1 è un maschio casuale dato che Rana 1 è una rana casuale) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (Rana 1 è Femmina casuale e rana 1 è rana casuale) = P (rana 1 è rana casuale) P (rana 1 è femmina casuale data rana 1 è rana casuale) = (1/2) (1/2) = 1/4

Quindi ci sono 3 possibili risultati per la rana 1:

La rana 1 è maschio

La rana 1 è maschio casuale

Frog 1 è una femmina casuale

e le probabilità sono:

P (Frog 1 è un maschio) = 1/2

P (Frog 1 è un maschio casuale ) = 1/4

P (Frog 1 is Random Female) = 1/4

Ora, per ogni possibile esito per Frog 1, ci sono 2 possibili esiti per Frog 2:

Frog 2 is Male

Frog 2 is Random Frog

Per ogni possibile risultato per Frog 1, la Random Frog è ugualmente probabile che sia un Random Male o una Random Female.

Quindi, per ogni possibile risultato per Frog 1, ci sono 3 possibili risultati per Frog 2:

Frog 2 è maschio

Frog 2 è maschio casuale

Frog 2 è una femmina casuale

P (Frog 2 è un maschio dato che Frog 1 è un maschio) = 0

P (Frog 2 è un maschio dato che Frog 1 è un maschio casuale) = 1

P (Frog 2 è maschio dato Frog 1 è femmina casuale) = 1

P (Frog 2 è maschio casuale dato Frog 1 è maschio) = 1/2

P (Frog 2 è un maschio casuale dato Frog 1 è un maschio casuale) = 0

P (Frog 2 è un maschio casuale dato Frog 1 è una femmina casuale) = 0

P (Frog 2 è una femmina a caso dato che Frog 1 è un maschio) = 1/2

P (Frog 2 è una femmina a caso dato che Frog 1 è un maschio casuale) = 0

P (Rana 2 è una femmina casuale data la rana 1 è Fe casuale maschio) = 0

P (Rana 2 è un maschio casuale e Rana 1 è un maschio) = P (Rana 1 è un maschio) P (Rana 2 è un maschio casuale dato che Rana 1 è un maschio) = ( 1/2) (1/2) = 1/4

P (Frog 2 è una femmina casuale e Frog 1 è un maschio) = P (Frog 1 è un maschio) P ( Rana 2 è femmina casuale dato che Rana 1 è maschio) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (Rana 2 è maschio e Frog 1 è maschio casuale) = P (Frog 1 è un maschio casuale) * P (Frog 2 è un maschio dato che Frog 1 è un maschio casuale) = (1/4) * 1 = 1/4

P (Frog 2 è un maschio e Frog 1 è femmina casuale) = P (rana 1 è femmina casuale) * P (rana 2 è maschio dato che rana 1 è femmina casuale) = (1/4) * 1 = 1/4

Quindi, il nostro lo spazio campione è {(Male, Random Male), (Male, Random Female), (Random Male, Male), (Random Female, Male)} e abbiamo probabilità 1/4 per ogni elemento.

P (F dato almeno 1 M) = P (F e almeno 1 maschio) / P (almeno 1 M) = P (1 M e 1 F) / P (1 M o 2 M) = P [( Maschio, Femmina casuale), (Femmina casuale, Maschio)] / P [(Maschio, Maschio casuale), (Maschio, Femmina casuale), (Maschio casuale, Maschio), (Femmina casuale, Maschio)] = (1/2) / (4/4) = 1/2

Commenti

• Hai copiato e incollato dalla mia risposta e rimosso la formattazione?
• Bene, prima di tutto, copiando e incollando una parte di qualcun altro ‘ senza nemmeno menzionarlo è inaccettabile. A parte questo, se pensi di aver raggiunto un risultato diverso, cè un modo più conciso per spiegarlo? Hai scritto molte equazioni disconnesse senza alcuna spiegazione.
• ‘ non è letteratura ma è comunque scortese. Ora, per quanto riguarda la tua risposta contro la mia: trovo la tua senza senso. Qual è il significato del risultato ” Frog 2 è Random Frog “?
• La tua risposta è stata lunica calcolo delle probabilità condizionali. Usare gli stessi termini potrebbe aiutare a confrontare e vedere quale parte è la stessa e quale è diversa. Posso dire che trovo anche altre risposte prive di senso, ma non lho detto perché sarebbe stato scortese;). Se non capisci qc, puoi chiedere chiarimenti. ” Frog 2 è Random Frog ” significa che non è la rana maschio nota per essere nella coppia ….
• Ci sono due fonti di casualità, una proveniente dalla rana maschio nota per essere nella coppia, laltra proveniente dalla popolazione di rane. Dato che sappiamo che la rana maschio è lì, lincertezza riguarda solo la posizione. È rana 1 o rana 2? Oppure è a sinistra oa destra? Il mio consiglio è di utilizzare il diagramma ad albero per creare uno spazio campione da zero e utilizzare tutte le informazioni disponibili.