Ho problemi con il modello di Ho-Lee per i tassi brevi e distinguendo tra come trovare i valori per il parametro libero λ rispetto alluso del modello per prevedere i tassi futuri.
Il modello Ho-Lee per ogni passaggio in un albero binomiale: $$ \ lambda_tdt + \ sigma \ sqrt dt $$
Lho letto per impostare il parametro libero ad ogni passaggio in un albero binomiale ricombinante, si imposta il tasso allo stato 0 sul tasso spot corrente (es .: tasso spot 1 mese) e si trova un valore per lambda che, una volta inserito nel modello, si tradurrà nel tasso spot corrente per la fase temporale successiva (ad esempio: iniziando con tasso spot di 1 mese allo stato 0 e utilizzando un intervallo temporale di 1 mese, il valore corretto di lambda quando collegato al modello produrrà il tasso spot corrente di 2 mesi ecc.)
Questo mi confonde. Dopo aver determinato il valore di lambda per ogni passaggio nel mio albero, quali input devo modificare per utilizzare il modello con il mio cestino albero omiale per prevedere i tassi a termine .. cioè: tasso di un mese in un mese, in due mesi ecc.?
Nel caso in cui la mia descrizione non sia chiara, ecco uneccezione dal libro di Bruce Tuckman sul oggetto.
… trova λ1 tale che il modello produca un tasso spot a due mesi uguale a quello del mercato. Quindi trovare λ2 tale che il modello produca un tasso spot a tre mesi uguale a quello del mercato. Continua in questo modo fino alla fine dellalbero.
Risposta
Lo sai che il modello di Ho-Lee è rappresentato dalle equazioni differenziali stocastiche \ begin {align} dr_t = \ lambda_t \, dt + \ sigma \, dW_t \ end {align} Per implementare il nostro albero binomiale, usiamo la discretizzazione di Eulero. \ begin {align} r_t = r_ {t- \ Delta t} + \ lambda_ {t- \ Delta t} \, \ Delta t + \ sigma \, \ sqrt {\ Delta t} \, Z \ end {align} dove $ Z $ è una variabile casuale normale standard. Siano $ t_0 = 0 < t_1 < … < t $ ed espandi lequazione, in tempo discreto \ begin {align} r_t = r_0 + \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ lambda_ {t_i} + \ sigma \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ \, Z \ end {align} Questa relazione mostra che il tasso breve è la somma di un insieme di termini di deriva non stocastici e di un insieme di termini casuali Il prezzo dellobbligazione zero coupon senza arbitraggio $ P (t, t + \ Delta t) $ sarà quindi indicato come
\ begin {align} P (0, t_n) = E ^ Q \ left [ exp \ left (- \ Delta t \, \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} r (t_i) \ right) \ right] \ end {align} Ad esempio, calcolo del prezzo dellobbligazione al momento $ n = 2 $, ci dà: \ begin {align} P (0, t_2) = E ^ Q [\ Delta t \, exp (-r_ {t_0} -r_ {t_1})] = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} E ^ Q [e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_1}}] \ end {align} in altre parole \ begin {align} P (0, t_2) = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} \, exp \ left (- \ De lta t \, E ^ Q [r_ {t_1}] + \ frac {1} {2} \ Delta t \, Var ^ Q [r_ {t_1}] \ right) \ end {align} In questo caso, $ r_t $ ha una distribuzione normale, quindi \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \ lambda_0 \, + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 = -2 \ Delta t \, r_ {t_0} – \ lambda_0 \, \ Delta t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 \ \ end {align} Ma \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = \ Delta t \, [- f (0,0) -f (0, t_1)] \ end {align} Può essere riscritto come: \ begin {align} -r_ {t_0} -f (0, t_1) = – 2r_ {t_0} – \ lambda_0 \ t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} quindi \ begin {align} \ lambda_ {t_0} = f (0, t_1) -r_ {t_0} + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} Questo rapporto fornisce le relazioni ricorsive necessarie per far evolvere il modello Ho-Lee senza arbitraggio dei tassi brevi. Consideriamo una serie di prezzi delle obbligazioni e la struttura delle volatilità come input per i tassi brevi. Pertanto otteniamo lequazione evolutiva per rappresentare lalbero binomiale del modello.
Commenti
- Grazie per la tua risposta, anche se ' è al di sopra del mio livello di comprensione. In poche parole, capisco che il punto del modello è modellare le tariffe future. Ho ' ho letto che impostiamo i parametri liberi in ogni passaggio dellalbero in modo tale che il modello emetta tassi spot correnti. Se è così che sappiamo che il modello è calibrato, quali input cambierei in modo da poterlo utilizzare per modellare le tariffe future?