Sono preoccupato per la motivazione che sta dietro la definizione di una quattro velocità. In Schutz “s Un primo corso in Relatività generale , usa il concetto di un vettore tangente in ogni punto di una linea del mondo di una particella data da $ x ^ \ mu = (ct, x, y, z ) $ . E in seguito afferma che
\ begin {equation} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {d \ tau} \ end {equation}
La spiegazione matematica che ho trovato per usare il tempo corretto come parametro su cui tutti gli osservatori sono daccordo, ma non riesco a capire quali problemi otteniamo invece con questa definizione usiamo la relazione
\ begin {equation} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {dt} \ end {equation}
dove $ t $ è la misura del tempo in un frame inerziale S.
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- Non ' penso che ' faresti questa domanda nello spazio euclideo. Considera una curva $ \ vec {r} (\ lambda) = (x (\ lambda), y (\ lambda), z (\ lambda)) $. Quindi si possono scrivere i vettori tangenti come $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r } / d \ lambda $. OPPURE potremmo seguire il tuo ultimo suggerimento e usare $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r} / dx $. Il vettore tangente punterà ancora nella direzione giusta ma non a lungo r è ben definito e la definizione non ti consente più di ruotare in un modo che mescoli le coordinate poiché individua $ x $.
- Il libro non spiega da qualche parte che la quattro velocità è definita in questo modo in modo che sia un quadrivettore Lorentz?
- @ jacob1729 puoi farmi qualche esempio? ' sono abbastanza confuso con questo argomento
Risposta
@Milano ha già risposto ai problemi tecnici della tua definizione.
Vorrei sottolineare problemi concettuali. Vorremmo che la 4 velocità caratterizzasse in qualche modo il movimento di un oggetto attraverso lo spaziotempo. Concettualmente ha senso pretendere che tale quantità dipenda solo dalle quantità che hanno una relazione diretta con quel movimento. Quindi portare il tempo di un osservatore casuale che non ha nulla a che fare con il movimento delloggetto sarebbe una decisione concettualmente strana. Ha senso definire la 4 velocità come vettore tangente alla linea del mondo degli oggetti, perché questa entità matematica è direttamente collegata con esso e quindi anche con il movimento degli oggetti. Naturalmente, abbiamo bisogno di qualche parametrizzazione della linea del mondo, che sarebbe idealmente naturale per la linea del mondo / movimento stesso e non dipende da alcuna quantità esterna. Poiché nello spaziotempo, ogni oggetto ha i suoi orologi, questa curva è naturalmente parametrizzata dallorologio delloggetto stesso, cioè dal suo tempo appropriato.
Nota, che in questo modo, non hai affatto bisogno di parlare del gruppo di Lorentz. Quando ho appreso per la prima volta della velocità a 4, la decisione di utilizzare il tempo corretto nella derivata mi è sembrata una decisione casuale solo per creare un vettore di Lorentz a 4. Ma in realtà ha ragioni geometriche più profonde, come ho cercato di spiegare.
Commenti
- Puoi consigliare qualche libro sulla relatività che spieghi questi argomenti come hai spiegato tu?
- @Lil ' Gravity non proprio, ma posso darti tre libri che si distinguono per me personalmente. Misner, Wheeler, Thorne – Gravitation spiega la relatività generale e la geometria differenziale a un livello molto intuitivo – insieme alle motivazioni fisiche per la maggior parte della matematica, e Wald – General Relativity è un ottimo libro per un approccio più formale e geometrico per vedere chiaramente come sono definiti i concetti astrattamente senza la necessità di un sistema di coordinate. Poi cè Fecko – Geometria differenziale e gruppi di Lie per i fisici, che considero il miglior libro di testo sulla geometria differenziale.
Risposta
La prima definizione si trasforma in un quadrivettore: $ \ dfrac {dx ^ {” \ mu}} {d \ tau} = \ Lambda ^ {\ mu } {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau} $ .
La seconda definizione si trasforma non proprio come un quadrivettore: $ \ dfrac {dx ^ {“\ mu}} {dt”} = \ dfrac {dt} {dt “} \ Lambda ^ {\ mu} {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {dt} $ .
Questo ha senso, poiché nella prima definizione dividi i differenziali di un quadrivettore (che a loro volta si trasformano anche come quattro -vector) da uno scalare (invariante sotto il gruppo di Lorentz).