Devo calcolare il numero di fotoni in un fascio di luce di potenza $ P $ . So che ha una potenza costante $ P $ nellintervallo di lunghezze donda $ [\ lambda_1, \ lambda_2] $ . Quindi, per calcolare questo, ho “utilizzato una formula che è stata data in unaltra domanda SE:
$$ N = \ frac {1} {h} \ int _ {\ nu_1} ^ {\ nu_2} \ frac {1} {\ nu} \ frac {dE} {d \ nu} d \ nu $$
Va tutto bene e usando questo ho creato $ N = ln (\ nu_2 / \ nu_1) $ . Ma non sono completamente convinto di questa formula perché non sono in grado di ricavarla da $ E = N (\ nu) h \ nu $ .
La risposta che ottengo dalla formula sembra corretta, ma ho bisogno di una prova per questo.
Fonte dellequazione: Numero di fotoni
Commenti
- Allora qual è lespressione per $ dE / d \ nu $ che hai usato per valutare il tuo integrale?
- Bene, la potenza è distribuita uniformemente nellintervallo, quindi ho detto $ E = h \ nu $, quindi $ dE / d \ nu = h $
- Perché no $ E = 2h \ nu $ ? Ci sono molte possibilità Perché ne scegli una specifica? Lequazione $ E = h \ nu $ è correlata allenergia di un singolo fotone. E se non disponi di una sorgente a fotone singolo? Anche se la tua sorgente è un singolo fotone. Queste cose di solito producono molte migliaia di impulsi a fotone singolo al secondo, quindi ancora una volta, la tua scelta per $ E $ sembra strana.
- ' non è così strano . ' sto calcolando il numero totale di fotoni emessi dalla sorgente e questi sono distribuiti uniformemente. Con questo intendo che la potenza è la stessa per ogni frequenza nella gamma. Quindi $ E = h \ nu $ dovrebbe essere la funzione che voglio. In caso contrario, correggimi
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La potenza è la quantità di energia trasmessa al secondo, quindi hai vinto ” t essere in grado di calcolare il numero di fotoni. Invece, calcolerai il numero di fotoni al secondo. Prendo $ P $ per indicare la potenza totale del fascio entro la frequenza va da $ \ nu_1 $ a $ \ nu_2 $ .
Il numero di fotoni al secondo in un piccolo intervallo spettrale $ \ delta \ nu $ dipenderà dal rapporto tra la potenza del fascio in quellintervallo spettrale e lenergia per fotone nel intervallo spettrale.
La potenza del raggio è uguale al numero di fotoni al secondo, diviso per lenergia per fotone. I fotoni hanno un intervallo di frequenze, $ \ nu_1 $ fino a $ \ nu_2 $ . Il problema afferma che la potenza è la stessa per ogni frequenza cy allinterno di tale intervallo.
Sia N il numero totale di fotoni al secondo convogliati dal raggio. Scegliamo un piccolo intervallo di frequenza da $ \ nu_i $ a $ \ nu_i + \ delta \ nu $ . Possiamo fingere che tutti i fotoni in quel piccolo intervallo abbiano la stessa frequenza, $ \ nu_i $ . Quindi il numero di fotoni al secondo in quellintervallo è $ \ delta \ nu \ frac {dP / d \ nu} {h \ nu_i} $ . Ma $ dP / d \ nu $ è una costante: $$ dP / d \ nu = P / (\ nu_2- \ nu_1) $$
Per trovare il numero totale di fotoni al secondo nellintero intervallo, dobbiamo sommare tutti i contributi da tutti i piccoli intervalli:
$$ N (total photons / sec) = \ frac {P} {\ nu_2- \ nu_1} \ sum (\ delta \ nu \ frac {1} {h \ nu_i}) $$
su tutto $ \ nu_i $ nellintervallo. Questo è solo lintegrale
$$ N = \ frac { P} {\ nu_2- \ nu_1} \ int _ {\ nu_1} ^ {\ nu_2} \ frac {1} {h \ nu} d \ nu $$
dove $ N $ è il numero di fotoni al secondo nellintervallo da $ \ nu_1 $ a $ \ nu_2 $ .
(Si spera di non aver commesso errori in matematica. Sono molto maldestro con MathJax.)
Commenti
- Va bene, ma quello che volevo sapere è la derivazione della formula. , come ci si arriva da $ E = Nh \ nu $?
- $ N $ nella formula che ho dato è un numero di fotoni al secondo . $ N $ in $ E = Nh \ nu $ è un numero di fotoni, non un numero di fotoni al secondo.
- Bene, allora dì $ P = Nh \ nu $ dove $ N $ è il numero di fotoni al secondo. Come derivi la formula per $ N $ quando $ \ nu $ è un intervallo?
- Ah, allora: devi capire meglio cosa significa lintegrale. Modificherò la mia risposta per includerlo.
- La modifica lo ha reso molto più chiaro! Ma cè unultima cosa che mi preoccupa …Quando scrivi il numero di fotoni al secondo nel piccolo intervallo di frequenze, come lo ottieni? Non riesco ' a pensare a questa idea. È lunico dubbio che avevo davvero. Fin dallinizio so che dovrei integrare qualche funzione su $ \ nu $ ma non ci sono riuscito. Questo passaggio cruciale mi sta davvero infastidendo, sembra molto semplice, ma mi sento come se ' mi mancasse un passaggio.