Loperatore di spin QM può essere espresso in termini di matrici gamma e sto cercando di fare un esercizio in cui dimostro un identità che utilizza $ \ gamma ^ 5 $ e $ {\ mathbf {\ alpha}} $:
$$ \ mathbf {S} = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ mathbf {\ alpha} $$
Nel mio primo tentativo lho fatto direttamente nella rappresentazione di Dirac ma lesercizio afferma che non posso farlo, qualcuno può consigliarlo? Cè qualche identità o trucco che mi consentirebbe di farlo?
Per chiarire, $ \ alpha $ è la seguente matrice in cui gli elementi diversi da zero sono le matrici di Pauli:
$ \ alpha ^ i = \ left [{\ begin {array} {cc} 0 & {\ sigma ^ i} \\ {\ sigma ^ i} & 0 \\ \ end {array}} \ right] $
$ \ textbf {S} = \ frac {1} {2} \ Sigma $
dove
$ \ Sigma = \ left [{\ begin {array} {cc} {\ sigma ^ i} & 0 \\ 0 & {\ sigma ^ i} \\ \ end {array}} \ right] = – i \ alpha_ {1} \ alpha_ {2} \ alpha_ {3} \ mathbf {\ alpha } $
Commenti
- Cosa sono $ \ alpha $ e $ {\ bf S} $ esplicitamente?
- Alpha è la matrice le cui voci non sulla diagonale principale sono matrici di Pauli, ma non sono sicuro di come questo aiuti.
- Come ti aspetti che ti aiutiamo a dimostrare unidentità senza una chiara definizione di tutti i simboli coinvolti?
- @Hollis Sicuramente puoi almeno dire cosa dovrebbe significare $ \ alpha $. ' non è una notazione standard come lo sono le matrici gamma.
- $ \ mathbf {\ alpha} $ è standard quanto le matrici $ \ gamma $. La maggior parte dei libri di fisica standard introduce $ \ mathbf {\ alpha} $ anche prima delle matrici $ \ gamma $.
Risposta
Seguo le convenzioni di Wikipedia con le seguenti definizioni $$ \ Sigma ^ {\ mu \ nu} = \ frac {i} {4} [\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu], \ qquad S ^ i = \ frac {1} {2} \ epsilon ^ {ijk} \ Sigma ^ {jk}, \ qquad \ alpha ^ i = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ i, \ qquad \ gamma ^ 5 = i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3. $$ dove $$ \ {\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu \} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu}, \ qquad \ eta ^ {\ mu \ nu} = \ text {diag} (1, -1, -1, -1). $$ Detto questo, ora notiamo $$ S ^ i = \ frac {i} { 4} \ epsilon ^ {ijk} \ gamma ^ j \ gamma ^ k $$ Esplicitamente, $$ S ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3, \ qquad S ^ 2 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 1, \ qquad S ^ 3 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 $$ Quindi, $$ \ frac {1} { 2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 1 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 = S ^ 1, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 2 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 2 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 3 = S ^ 2, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 3 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 3 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 = S ^ 3, \\ $$ Quindi, $$ S ^ i = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ i. $$