Perché ci sono dodici note in unottava?

Ciò richiede unescursione nella storia della musica.

In origine, gli strumenti erano fatti per suonare semplicemente note che suonavano” bene “insieme. Il motivo per cui alcune note suonavano giuste e altre sbagliate non era motivo di grande preoccupazione per la maggior parte della storia dellumanità, fino a quando Pitagora (sì, il tizio con teorema ) notò che aveva a che fare con gli intervalli e creò una teoria musicale basata sulle quinte perfette. Questa teoria ha avuto i suoi problemi, tuttavia, ed è stata migliorata da persone successive, finendo alla fine con quella che viene chiamata “ solo intonazione ”

Fondamentalmente, le note suonano armoniose se la frequenza delle note è vicina a un intervallo semplice, come 3/2 o 5/4. Queste teorie erano importanti perché significava che era possibile per diversi costruttori di strumenti creare strumenti che potessero suonare scale insieme, creando così orchestre.

Ma solo laccordatura ha un problema: fondamentalmente puoi suonare solo la scala per la quale è costruito lo strumento, perché gli intervalli tra le note sono diversi. Se suoni una melodia sulla scala sbagliata, risulterà stonata. Ciò significa che se vuoi cantare insieme allo strumento, devi trovare un cantante la cui estensione si adatti alla canzone nella scala per cui è costruito lo strumento. Non puoi trasporre la canzone per adattarla al cantante. Inoltre, i musicisti stavano esplorando i limiti di ciò che potresti fare con solo strumenti intonati.

Quindi da questo è nato il temperamento equabile . Divide la scala in intervalli uguali, il che significa che puoi trasporre una melodia in altre tonalità e significa anche che puoi fare cambi di accordi drammatici e altre cose interessanti. Puoi infatti dividere lottava in 11 o 13 note se lo desideri, ma per la maggior parte delle persone suonerà stonato . Ma quando lo dividi in 12 note, avvicinarsi abbastanza alle sette note di intonazione giusta per essere sopportabile, tranne per alcuni sfortunati pochi presumibilmente gravati da unintonazione perfetta iperattiva. I cinque toni che si trovano tra i sette di base sono, come previsto, chiamati “mezzi toni”.

Ci sono temperamenti uguali diversi dai 12 toni per ottava che suonano bene, ma generalmente non hanno un numero intero di note per ottava Ave. Wendy Carlos ha sperimentato molto con questo e ha realizzato scale come la scala gamma con una sbalorditiva 34,29 note per ottava.

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• Ci sono state molte esplorazioni pratiche e teoriche in corso per secoli, ma il temperamento equo è derivato specificamente dalla standardizzazione degli strumenti a tastiera (specialmente degli organi della chiesa), la questione strumenti a tasti e il rinnovamento di un approccio matematico alla tonalità (vedi il trattato Mersenne per esempio)
• In realtà questo era noto prima di Pitagora. Era solo il primo i cui seguaci lhanno scritto. Inoltre, la teoria moderna mostra che piccoli rapporti interi sono applicabili solo ai suoni armonici. Suoni inarmonici o con solo armoniche dispari producono scale differenti.
• Questo è ‘ il punto. Razioni intere piccole = suono armonico. Non ‘ non vedo cosa cè di moderno in questo. 🙂 E come fai a sapere che le persone lo sapevano prima di Pitagora se non ‘ lo scrivevano?
• Qui ‘ è unimmagine di solo vs ET fianco a fianco flic.kr / p / 7rNope
• ” Ma solo laccordatura ha un problema: puoi praticamente suonare solo la scala per cui è stato costruito lo strumento, perché gli intervalli tra le note sono diversi “: in realtà, se ‘ stai suonando musica con armonie del tipo emerso durante il Rinascimento europeo , non puoi ‘ usare anche solo lintonazione se ti attieni a una singola tonalità, a meno che tu non eviti certi accordi in quella tonalità. Questa risposta salta il periodo importante e duraturo di temperamenti disuguali, che durò dallinizio del XVI secolo al XIX, prima del risveglio nel XX.

Questa domanda su math.se è abbastanza simile a ciò che stai chiedendo e le risposte forniscono molti dettagli:

Differenza matematica tra note bianche e nere in un pianoforte?

Quello che sta succedendo qui è una coincidenza matematica estremamente conveniente: molte delle potenze di 2 ^ (1/12) sono buone approssimazioni rapporti di numeri interi piccoli e ce ne sono abbastanza per riprodurre musica occidentale.

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• Penso che, fondamentalmente, (3/2) ^ 12 (129,75) sia vicino a una potenza di due (128). Pertanto, le quinte su una scala a 12 note a temperamento equabile hanno un rapporto di 1.498: 1 (lideale sarebbe 1.5: 1), che è più vicino alla perfezione rispetto a qualsiasi altro ragionevole numero di note.
• Ho ‘ ho letto discussioni sul 19-TET (temperamento equabile a 19 toni) in cui una scala diatonica avrebbe cinque ” grandi ” intervalli di 3/19 ottava e due intervalli ” piccoli ” di 2/19 ottava. Una tale scala sarebbe suscettibile di normale notazione musicale se si considera ad es. C # e Db come separati di 1/3. La più grande stranezza sarebbe che le firme di chiave con un massimo di nove diesis o bemolle sarebbero distinte (invece di avere C # / Db, F # / Gb e B / Cb come coppie di chiavi di chiave simili al suono).
• Penso che questa citazione non si applichi o spieghi la domanda. Non cè coincidenza qui. È per costruzione.
• @ggcg Il fatto che la scala a n toni uguali consiste di rapporti di frequenza di 2 ^ (j / n) per valori interi di j è per costruzione. Che 2 ^ (7/12) e 2 ^ (5/12) sono buone approssimazioni a 3/2 e 4/3 e che non ci sono ugualmente buone approssimazioni di questi rapporti nel temperamento equabile a 11 o 13 toni è un fatto. E non è una coincidenza: si riferisce alla frazione continua del logaritmo in base 2 di 3. Che 2 ^ (4/12) è unapprossimazione decente di 5/4 è, tuttavia, una coincidenza per quanto posso vedere. Proprietà speciali del numero 12 sono ciò che fa funzionare ragionevolmente bene il temperamento equabile a 12 toni.

Due punti che potrebbero non essere stati completamente risolti.

• Perché Do maggiore la scala di riferimento per i toni naturali?

  La notazione anglosassone oscura un po la storia. La tradizione della musica sacra portò in Italia (poi poco dopo Francia e Spagna) a nominare note della scala maggiore di riferimento con sillabe convenzionali: Ut Re Mi Fa Sol La Si (corrisponde a CDEFGAB ) derivante dal testo latino di un brano molto noto dellepoca. Lultima notazione a lettera singola prende un altro punto di partenza, ma il carattere di riferimento della scala di Do maggiore è persistito nei paesi occidentali anche se è possibile trovare prove di notazioni e tastiere utilizzando altre note come riferimento. Una delle principali influenze è stata la costruzione di strumenti a tastiera (in particolare lorgano della chiesa). Lattuale layout della tastiera è un compromesso tra la larghezza tipica delle mani, suonare lUt (ora chiamato principalmente Do o C ) scala maggiore facilmente e avendo accesso a tutti i semitoni e poche altre cose. Altri progetti non hanno avuto lo stesso successo.

  Devi anche sapere che la teorizzazione e la standardizzazione della musica almeno fino al XIX secolo è stata fatta sotto il patrocinio delle chiese (ortodosse, cattoliche, riformate, …) che spingevano per luniformità. Il diciannovesimo secolo ha visto una standardizzazione e internazionalizzazione ancora più ampia dellaccordatura, dellinsegnamento della musica e del dominio del pianoforte come strumento di riferimento e di composizione. Gli ultimi tre secoli hanno progressivamente soppresso o messo nelloblio la maggior parte delle tradizioni divergenti (su scale, modi, accordature) in Europa.Al giorno doggi, alle persone che apprendono la musica viene insegnata come prova la scala di do maggiore come fondamento della teoria musicale e la scala minore e le sue varianti non sono sempre trattate in modo equo.

• cè un semitono tra Mi & F e B & C e non altrove?

  Ci sono diverse scale / modalità fuori dalla scala maggiore, con un numero variabile di note, dove i semitoni non sono posti tra la 3a e la 4a nota e tra la 7a e l8a. Le tre scale minori (armonica, ascendente, discendente) per esempio, ma anche dorian , frigio , puoi leggere un articolo dellenciclopedia su di loro.

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• In effetti, solo da ut a la provengono direttamente dallinno, che va solo da C a A, ma andava bene perché il sistema che usava queste sillabe comprendeva scale di sei note sovrapposte chiamate esacordi; queste sillabe erano usate accanto ai nomi delle lettere della scala a sette note che sembra averle precedute. Ut è stato applicato a F, C o G. Si è stato aggiunto più tardi quando il sistema esacordale si è rotto e le sillabe sono state applicate alla scala di sette note. La scala maggiore non esisteva realmente a quel tempo, tuttavia, poiché cerano solo quattro modalità autentiche e le loro controparti plagali.

La quinta è il più piccolo intervallo di consonanti non di ottava, con un rapporto di frequenza di 3: 2. Se inizi ad impilare quinte pure, il primo risultato ragionevolmente vicino alle ottave impilate (2: 1) è 12 quinte, che risulta essere 531441: 4096 invece di 128: 1 per 7 ottave. È il più vicino che puoi ottenere con un numero ragionevole di note per ottava. Quindi, se stai cercando una tonalità costruita da ottave sovrapposte e quinte quasi perfette, una divisione di dodici toni sarà praticamente ciò a cui arriverai .

Questo accade anche per servire alcuni altri intervalli (terza maggiore e terza minore, per esempio), ma peggio delle quinte. “temperamento di tono medio” cerca di ottenere un numero di terze maggiori pure al prezzo di far suonare peggio molti altri intervalli e alcune terze, e “accordatura ben temperata” ottiene diverse quinte pure e alcune belle terze in cambio di altre sgradevoli quinte.

Quindi, nel corso dei millenni, laccordatura ha cambiato il suo focus da terze pure a quinte pure e alla fine ha deciso di rendere pure solo le ottave e costruire il resto della scala attorno a una quinta di uguale temperamento, ottenendo 12 semitoni di uguale temperamento.

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• questa è stata unottima spiegazione. grazie. Sono ancora interessato a dividere le ottave in vari numeri di semitoni e giocare con i risultati. Mi chiedo se lottava di 12 semitoni suonasse bene prima dellavvento della ” musica come la conosciamo ” o se è qualcosa di un gusto acquisito, nel qual caso potrebbero essere adattate suddivisioni alternative dellottava, come nel caso della musica occidentale vs indiana vs asiatica orientale.

Quando due note vengono suonate insieme, suonano piacevoli solo se le loro curve donda si uniscono ogni pochi cicli. Li chiamiamo suono armonico.

Se le curve donda non si uniscono mai, o non lo fanno entro pochi cicli, suonano discordanti.

Le curve donda si uniranno solo se le due frequenze sono multipli luna dellaltra.Ad esempio, se una frequenza è di 200 cicli al secondo e laltra è di 600 cicli al secondo, le loro curve sonore coincideranno esattamente 3 volte al secondo e suoneranno armoniche.

Dividendo ogni ottava in 12 intervalli, massimizzi il numero di coppie di note che suonano piacevolmente. Questo perché il numero 12 è divisibile per numeri più piccoli rispetto a qualsiasi altro numero inferiore a 60. È divisibile per 1,2,3,4 e 6. Il numero 60 consentirebbe combinazioni più piacevoli (1,2,3, 4 e 5), ma sarebbe ridicolo dividere unottava in 60 intervalli.

Quindi nella musica occidentale moderna si usano 12 intervalli. Ciò fornisce il numero massimo di combinazioni dal suono piacevole per creare armonia.

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• Non ‘ per vedere perché i divisori sono importanti qui. Perché ad esempio il tritono di temperamento uguale ha un rapporto di frequenza 2 ^ (6/12) che è una delle peggiori approssimazioni (rispetto alla sola intonazione) nella scala mentre la quarta perfetta (2 ^ (5/12)) è una delle il migliore (vedi il link nella risposta di Matthew ‘). Un altro piccolo commento: se una frequenza è 200 Hz e unaltra è 600 Hz, supponendo che ‘ siano sincronizzate, saranno nella stessa fase 200 volte al secondo, cioè ogni 3 cicli del uno più veloce.
• Le frequenze non ‘ devono essere multiple luna dellaltra; hanno bisogno di condividere un piccolo mutiple comune. Vedi la mia risposta qui .
• 60 semitoni per ottava! è un ottimo esperimento da provare: D
• @nonpop ha ragione. Se dividiamo lottava in n intervalli uguali, non è importante che n abbia molti fattori. 16et non ha unapprossimazione utilizzabile a una quinta perfetta. 30et non ha intervalli migliori di quelli di 15et, la cui migliore quinta è larga 18 centesimi (12et ‘ s è stretta di 2 centesimi). Daltra parte, alcuni temperamenti equabili con intervalli eccellenti hanno n primo, ad esempio 19et, 31et e 53et.
• Sì, sono daccordo con @nonpop. Cè qualcosa di sbagliato in questa risposta. Nessuno degli intervalli di 12TET ” allineato “, la sola regolazione fornisce un allineamento perfetto ma causa altri problemi. Il 12TET è un compromesso. ‘ ho conosciuto persone con un tono perfetto che affermano che TUTTI gli intervalli di 12 TET suonano dissonanti.

Il motivo è IL CERVELLO. Al cervello piacciono le frequenze che sono proporzioni semplici. Pensa che vadano insieme. Dovresti davvero chiedere, prima, perché ci sono le ottave?

Bene, lottava rappresenta un raddoppio / dimezzamento di hertz (cicli al secondo).

Quindi, il Do centrale midi è 256 Hz, e se conosci i numeri del tuo computer, renditi conto che le successive ottave C “sono a 512, 1024, 2048, ecc. e le ottave inferiori sono a 128, 64 e (pimp your ride) 32.

I terremoti, tra laltro, si presentano a circa 11 hertz.

Ogni società inizia con lottava. “Cos 1/2. Capito?

(A proposito, propongo che la 2a scuola viennese abbandoni lottava e accorda anche gli strumenti. Niether ha un senso per loro. Lo stato attuale delle cose con ottave e accordatura e cose del genere sono pura ipocrisia. Lascia perdere, ragazzi! Anche i punteggi. E suonare in pubblico. Nessuno viene comunque.)

Hh HHm …

Come dividere lottava?

Se iniziamo su C e lo dividiamo in 3 (che è una bella proporzione per il cervello) otterremo una bella scala a 3 note:

C, E , G #, C

Che ne dici di dividerlo in quattro:

C, Eb, F #, A, C

“Che bello”, dice il cervello, “ma è troppo SIMMETRICO. Entrambe queste scale sembrano andare avanti per sempre, non posso dire cosa è cosa. Lo so! Perché non mischi e abbini le proporzioni in modo che siano leggermente più irregolari? Allora posso capire la nota di basso. “.

E così è nato il” Proto Major Thingy “:

C, E, G, C

e il “Proto Minor Thingy”:

C, Eb, G, C

“Aspetta un bit “, dice il cervello,” ti sei perso una nota, non “vero?”.

“Dove?”

“Tra G e C, sono abbastanza sicuro che tu aveva qualcosa tra G e C “.

C, E, G, A, C?

” È PIACEVOLE! Rock and Rollish. Avanti allora, che ne dici dellaltro? ”

Do, Eb, G, Bb, C?

“Ehi, cosa cè in Bb? Non labbiamo mai sentito prima. Che tipo di proporzione è? “

” È “10/12esimi”.

“Intendi 5/6. Va bene. Suona di nuovo”.

C, Mib, G, Bb, C

“Kay, quello è blues. Tutto ok! Ma sono passati 70.000 anni e ci sono “un sacco di poveri bastardi che fanno le cazzate” intorno allo scenario che vengono sgranocchiate e sgranocchiate da tigri dai denti a sciabola e cose del genere. Molti funerali. Molta tristezza. Come Trump al giorno doggi, dovresti saperlo! Hai bisogno di varietà. “

” Permutazioni? “

” Mostrami. “

C, D, E, G, A, C
C, D, E , G, Bb, C
C, Eb, F, G, Bb, C
C, Eb, F, G, A, C

“Qual è la proporzione F? “

” 4/3 “

” Fantastico! Mi piace. 5 note. Diamogli un nome greco stravagante. Arricchiamolo un po . Penta …? ”

“Tonico?”.

“È meraviglioso”.

“Stavo scherzando. Sai, troppo letterale …”

” Non importa. È fantastico. Andremo con Pentatonic. Di più! Abbiamo bisogno di più! Ora ci sono “capi tribù, capanne di fango, gioielli”

“Ho bisogno di alcune regole”.

“ok. Ehm .. tieni la terza minore o la terza maggiore e la quinta dove lo è, e sposta gli altri di … Lo so, in questo modo: sposta il settimo in alto, il sesto in basso, il quarto in alto e il secondo in basso! “

C, D, E, SOL, LA, DO
DO, RE, MI, SOL, AB, DO
DO, RE, MI, SOL, SIb, DO
DO, MI, SOL, SI, DO
DO, MIb, FA, SOL, SIb, DO
DO, MIb, FA #, SOL, SIb, DO
DO, MIb, FA, SOL, LA, DO
DO, MIb, FA #, SOL, A, C
C, Db, E, G, A, C
C, Db, E, G, Ab, C
C, Db, E, G, Bb, C
C, Re, Mi, Sol, Si, Do

“Ehi, se li sovrapponiamo tutti” “otterremo 12 suddivisioni dellottava! Fantastico!”

C , Db, D, Eb, E, F, F #, G, Ab, A, Bb, B, C

“Ecco perché mi chiamo BRAIN, figliolo. Oh, e tu” re il benvenuto. “

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• Apprezzo lumorismo (proprio come me) ma potrebbe essere un po esagerato per questo sito. Cosa fare intendi ” dividere la C in 3? ”
• @GeneralNuisance Probabilmente significa dividere lottava in tre parti uguali.
• In realtà, a temperamento equabile, il Do centrale è 261,63 Hz.
• Non credo che la premessa sia valida.

Per la musica occidentale i greci furono i primi a capire la matematica che si verifica naturalmente nelle sfumature armoniche generate da corni e altri strumenti a fiato. I greci applicavano gli stessi rapporti matematici (sezione aurea) alle corde. Pitagora ha inventato laccordatura pitagorica di (3: 2) quinte perfette e ottave (2: 1) per abbinare i toni armonici naturali. Successivamente i greci inventarono 7 scale modali basate sulla sintonizzazione pitagorica. Sette modalità con otto note in una scala. Queste scale erano ioniche, doriche, frigi, lidi, mixolidi, eolie e locriche. Usiamo ancora Ionio (Maggiore) e Eolico (Minore). Il difetto con gli armonici naturali è che le ottave tra ciascun modo erano leggermente discostate luna dallaltra. Aristosseno nel IV secolo a.C. inventò i 12 toni tra le ottave nel tentativo di utilizzare lo stesso rapporto tra ogni nota. Successivamente furono inventate le chiavi per utilizzare questi 12 toni come base per ciascuna scala. Il problema era che per natura questi tasti sono leggermente distanti luno dallaltro. Per risolvere questo problema J.S. Bach allinizio del 1700 “promuoveva luso della scala temperata. Ha equalizzato il divario naturale tra ciascuno dei dodici semitoni. Gli ottoni del periodo barocco avevano una borsa di truffatori di diverse dimensioni da regolare per ogni chiave in cui si esibivano . Anche gli strumenti a corda dovevano risintonizzarsi per ogni cambio di tonalità. Utilizzando la scala temperata, un esecutore poteva passare da una tonalità allaltra senza risintonizzare.

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• Ok, buona storia, ma perché Aristoxenus ha deciso di scegliere il 12 anziché il 13 o l11?
• Aristoxenus ha voluto utilizzare lo stesso rapporto di 3/2 math.uwaterloo.ca/~mrubinst/tuning/12.html spiega la matematica alla base.
• Dovresti spiegarlo nella tua risposta, allora.
• Questa risposta ha molte affermazioni errate La sezione aurea generalmente non appare in armonia I modi greci non includevano lo ionico o eolico (e i modi greci non sono gli stessi di quelli che impariamo oggi con quei nomi; i nomi greci furono applicati a quattro di quei modi nel Medioevo, mentre Eoliano, Ionico e Locriano furono sviluppati successivamente). Ci sono 7 altezze distinte in una scala, non 8. Il temperamento è stato inventato molto prima di Bach, e il temperamento preferito da Bach non era uguale. I truffatori di ottoni non hanno nulla a che fare con il temperamento e le corde non avevano bisogno di risintonizzarsi per ogni cambio di chiave.

Una semplice immagine a volte è meglio di unenorme spiegazione, quindi ti consiglio anche di controllare i grafici in questo link, puoi passare il mouse da 10 a 19 a per esempio per vedere le differenze tra le varie divisioni: http://www.tonalsoft.com/enc/e/edo-11-odd-limit-error.aspx (basta guardare le consonanze più forti: 3 – 1/3 **, 5 – 1/5 e 3/5 – 5 / 3, il resto del grafico non è davvero importante in confronto.)

Fondamentalmente ciò che mostra chiaramente è che la divisione di 12 note è lunica a rendere i rapporti 3/2 e 4/3 (i più importanti *** dopo lottava) quasi puri. E le terze / seste (rapporti con il numero ” 5 “, i successivi più importanti ***), non sono neanche così male. Nessunaltra divisione per un discreto numero di note, da 10 a 19, può avvicinarsi anche leggermente a questo. è matematicamente remarquable e il motivo per cui usiamo 12 note e non 13, 11 o ecc.

** (” 1/3 ” significa semplicemente un rapporto 4/3 con spostamenti di 2 ottave, è solo il modo in cui originariamente presentano i numeri.)

*** (Quello che voglio dire è che se il tuo cervello vuole riconoscere e ricordare facilmente la musica, hai piuttosto bisogno di un grande gruppo di quinte, quarti e terze per essere più o meno in sintonia, nel tuo architettura musicale, anche melodica, altrimenti sono per lo più suoni dissonanti, che portano al rumore e sono difficili da ricordare per il tuo cervello …)

Ottima risposta di @john Baldwin sopra. Volevo aggiungere che queste divisioni minime sono anche le più pratiche da usare. Prendendo il caso del canto, ad esempio, tra una nota diciamo C e la sua ottava C più alta, 7 intervalli producono il suono più distinto, più 5 diesis e bemolli = 12.

E poi se iniziamo a dividerlo ulteriormente, inizia lentamente a ottenere sottarmonie molto sottili per ludito umano. E queste 12 divisioni poi anche ripetere nelle ottave più alte e più basse e così via.

La più facile da identificare è 4 divisioni che è un divisore di 12, che costituisce una scala pentatonica con la nota più alta, una d è il motivo per cui è facilmente divertente.

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• Questo ‘ non ha molto senso per me. Che cosa intendi con ” distinto “? Penserei che gli intervalli di consonanti siano meno distinti di quelli dissonanti, per esempio, e la scala di dodici toni è progettata attorno agli intervalli di consonanti. Diesis e bemolle non sono ‘ sono qualcosa che puoi rivelare anche quando conti gli intervalli, a meno che ‘ non lavori allinterno di una particolare chiave o teoria armonica o seomthing (e non ne hai ‘ specificato). Infine, come possono 7 intervalli produrre ” il suono più distinto ” se 4 (o meglio 5) intervalli sono ” il più facile da identificare “?
• Distinto significa dove un cambiamento da una nota allaltra è chiaramente identificato. Più sono le divisioni in una scala, meno distinte diventano le note. Gli intervalli dissonanti possono essere facilmente identificati in quanto sono stridenti, ma in termini di armonia come il cervello, i 7 intervalli sono musicali e naturalmente melodici. Prova a cantare una melodia dissonante e una melodica e saprai quale ti sembra più facile. pentatonic è un sottoinsieme e ha intervalli più distinti di tutte le 7 note della scala. Se hai deciso di aggiungere più fermate in una scala come 20, ad esempio, diventerà naturalmente un lungo sbadiglio

In base alla formulazione della domanda, direi che è di progettazione. Non è una coincidenza che 12 semitoni rientrino in unottava invece di 11 o 13. Anche se i dettagli possono cambiare se si presume solo laccordatura, spiegherò assumendo unaccordatura con temperamento uguale. Innanzitutto dovresti sapere che esiste un continuum di frequenze e quindi altezze tra due note. Siamo confluiti in una particolare scelta di combinazioni di altezze per la scala diatonica occidentale attraverso secoli di sperimentazione. Le note in una scala riflettono ciò che è gradito allorecchio per una particolare cultura. Nel corso del tempo gli occidentali hanno standardizzato il mezzo passo suddividendo lottava in 12 passi usando la relazione

f_octave = 2 * f_tonic

hanno imposto il vincolo che il rapporto di due semitoni consecutivi sia il lo stesso non importa da dove inizi,

f_1 / 2 = r * f_tonic (questo sarebbe un secondo minore)

poiché stiamo forzando il numero di passaggi 1/2 da tonico a ottava per essere 12 otteniamo la relazione

r ^ 12 = 2 or = 2 ^ (1/12)

IMO alcuni post qui stanno mettendo il carro davanti ai buoi. Non puoi dimostrare che lottava ha solo 12 semitoni usando la definizione di semitono sopra. Piuttosto chiedi quale deve essere il rapporto per assicurarti che ci siano 12 in unottava.

A tal fine ci sono tutti i tipi di cromatismi alternativi che tentano di posizionare N passi uguali in unottava. Questi risultati nellequazione di accordatura,

r = 2 ^ (1 / N)

Cè un 24 TET contenente 24 passi di un quarto uguali in unottava. E potresti assolutamente costruire una scala con

r = 2 ^ (1/13)

o qualche altra radice di 2. Ovviamente questi NON sarebbero 1/2 passi nel senso tradizionale del termine. Ora la questione di come ci siamo arrivati è una storia più lunga. Prima dellaccordatura 12TET, la scala Just major con 8 note (ottava inclusa) ha più di 5 alterazioni. Puoi cercare su Google e trovare articoli Wiki sullargomento, ma credo che esistessero solo scale con fino a 17 note indipendenti nellottava. Sebbene tutte le note consecutive abbiano probabilmente un rapporto leggermente diverso. Quindi non è proprio un passo di 1/2. Quello che chiami passo 1/2 dipende da come hai imparato il termine.