Ho letto spesso che i metalli che sono liquidi di Fermi dovrebbero avere una resistività che varia con la temperatura come $ \ rho (T) = \ rho (0) + a T ^ 2 $.
Immagino che la parte $ T ^ 2 $ sia la resistenza dovuta alle interazioni elettrone-elettrone e il termine costante sia dovuto allo scattering di impurità.
Cè un semplice argomento per dimostrarlo? O forse potresti indicarmi un bel riferimento?
Inoltre, sembra che per le interazioni elettrone-elettrone per introdurre una resistività finita, sia necessario un po di scattering umklapp (per rompere linvarianza galileiana e traslazionale). È corretto? Quale di queste simmetrie (galileiana o traslazionale) deve essere rotta?
Commenti
- Sto cercando una risposta migliore, ma la mia semplice comprensione è come segue: $ \ rho \ sim \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 \ sim T ^ 2 $. E $ \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 $ è ciò che definisce il comportamento del liquido di Fermi.
- Il ridimensionamento $ T ^ 2 $ richiede sia Umklapp che scattering elettrone-elettrone. In effetti, una vicinanza $ O (kT) $ della superficie di Fermi per le quasiparticelle partecipa alle interazioni che implicano il ridimensionamento, arxiv.org/abs/1204.3591 .
- @EverettYou: Questo ‘ è quello che stavo pensando anchio, ma da dove viene lumklapp?
- Qualcuno ha dei buoni riferimenti su il calcolo delleffetto umklapp nella teoria dei liquidi di Fermi?
- Ci sono alcuni semplici argomenti ” phase-space ” motivare la dipendenza $ T ^ 2 $; li hai incontrati, @jjj?
Answer
In che modo linterazione elettrone-elettrone porta a $ T ^ {2} $ la dipendenza può essere spiegata comprendendo i vincoli imposti allo scattering elettrone-elettrone dalla conservazione della quantità di moto e dal principio di esclusione.
Considera la superficie dei fermi di un gas elettronico in 3D. La superficie di Fermi è una sfera di raggio $ k_ {f} $. A temperature finite, gli elettroni occupano stati al di fuori della superficie di Fermi governati dallequazione di Fermi Dirac, caratterizzata da un guscio esterno alla sfera di Fermi con raggio proporzionale alla temperatura. Ci sono, quindi, stati vuoti allinterno della sfera di Fermi allinterno di un guscio dello stesso raggio.
Se attiviamo le interazioni elettrone-elettrone, a piccole forze di interazione, possiamo considerarle come dispersione di elettroni tra questi stati nella figura sopra non interagente. Gli elettroni, essendo fermioni, possono occupare solo stati che non sono già occupati, insieme a una soddisfacente conservazione della quantità di moto. Quindi, dobbiamo scegliere due elettroni, entrambi sui gusci di raggio proporzionale a T, su entrambi i lati della superficie del raggio $ k_ {f} $, in modo che uno possa disperdere in uno stato vuoto al di fuori di $ k_ {f} $ surface e laltro in uno stato vuoto nella shell allinterno della $ k_ {f} $ surface. Pertanto, la probabilità di selezionare due di questi elettroni è proporzionale a $ T ^ 2 $.
Poiché il contributo alla resistività è proporzionale alla probabilità di questi eventi di dispersione, queste interazioni portano a $ T ^ 2 $ dipendenza dalla resistività.
Ci sono argomenti più rigorosi ma penso che questo dia unimmagine intuitiva, valida nel contesto di interazioni deboli e bassa temperatura.
Risposta
O forse potresti indicarmi un bel riferimento?
I dettagli alla base della seguente risposta possono essere trovati nel seguente documento arXiv (e riferimenti in esso) arXiv: 1109.3050v1 .
Cè un semplice argomento per dimostrarlo?
Sembra di no ma posso dire quanto segue. La conduttività dovuta alle collisioni elettrone-elettrone è generalmente data da: $$ \ sigma = \ frac {n \ e ^ {2} \ \ tau_ {coll} } {m} \ tag {0} $$ dove $ \ sigma $ è la conduttività elettrica, $ n $ è la densità del numero di elettroni, $ e $ è la carica fondamentale , $ m $ è la massa di elettroni e $ \ tau_ {coll} $ è la scala temporale media delle collisioni (o tasso di rilassamento). Nota che la resistività , $ \ eta $, è solo linverso della conduttività nellapprossimazione scalare.
Per un liquido Landau-Fermi , si può dimostrare che il tasso di rilassamento medio per gli elettroni su una superficie di Fermi è: $$ \ tau_ {coll} ^ {- 1} = \ frac {\ alpha \ \ left (m * \ right) ^ {3} \ \ left (k_ {B} \ T \ right) ^ {2}} {12 \ \ pi \ \ hbar ^ {6}} \ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ right)}} \ rangle \ tag {1} $$ dove $ \ alpha $ è lefficienza del trasferimento di quantità di moto al reticolo ionico come quantità adimensionale che soddisfa $ \ alpha $ < 1, $ k_ {B} $ è il costante di Boltzmann , $ \ hbar $ è la costante di Planck , $ W \ left (\ theta, \ phi \ right) $ è la probabilità di transizione per lo scattering anelastico.
Citando dal documento arXiv di cui sopra:
Tuttavia, il fatto che un solido non possieda una piena simmetria traduttiva ha importanti conseguenze. Già nel 1937 Baber dimostrò un meccanismo per la resistività finita in un modello a due bande in cui gli elettroni $ s $ sono sparsi da buchi $ d $ più pesanti da uninterazione di Coulomb schermata … i processi Umklapp a banda singola consentono il trasferimento della quantità di moto al sistema di coordinate cristalline …
dove processi Umklapp si riferiscono a electron- fonone e / o diffusione fonone-fonone in un reticolo. Gli autori mostrano anche che il termine tra parentesi angolari può essere integrato nel seguente: $$ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ right)}} \ rangle = 12 \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ left (\ pi \ \ hbar \ right) ^ {5}} {\ left (m * \ right) ^ {3} \ \ epsilon_ {F} *} \ tag {2} $$ dove $ \ lambda _ {\ tau} $ è un parametro adimensionale che descrive linterazione effettiva in polaron -polaron scattering e $ \ epsilon_ {F} * $ è l energia di Fermi dei polaroni. Dopo un po di algebra, possiamo mostrare che: $$ \ frac {\ hbar} {\ tau_ {coll}} = \ alpha \ \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ pi} {\ epsilon_ {F } *} \ left (\ pi \ k_ {B} \ T \ right) ^ {2} \ tag {3} $$
Quindi, la resistività è proporzionale a $ \ eta \ propto T ^ {2} $.