Perché il GPS dipende dalla relatività?

Il margine di errore per la posizione prevista dal GPS è $ 15 \ text {m} $. Quindi il sistema GPS deve tenere il tempo con una precisione di almeno $ 15 \ text {m} / c $ che è circa $ 50 \ text {ns} $.

Quindi $ 50 \ text {ns} $ errore nel cronometraggio corrisponde a $ 15 \ text {m} $ errore nella previsione della distanza.
Quindi, per $ 38 \ text {μs} $ errore nel cronometraggio corrisponde a $ 11 \ text {km} $ errore nella previsione della distanza.

Se non applichiamo correzioni utilizzando GR al GPS, viene introdotto lerrore $ 38 \ text {μs} $ nel cronometraggio al giorno .

Puoi verificarlo tu stesso utilizzando le seguenti formule

$ T_1 = \ frac {T_0} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} } $ … clock è relativamente più lento se si muove ad alta velocità.

$ T_2 = \ frac {T_0} {\ sqrt {1- \ frac {2GM} {c ^ 2 R}} } $ … lorologio è relativamente più veloce a causa della debole gravità.

$ T_1 $ = 7 microsecondi / giorno

$ T_2 $ = 45 microsecondi / giorno

$ T_2 – T_1 $ = 38 microsecondi / giorno

utilizza i valori forniti in questo ottimo articolo .

E per le equazioni fare riferimento a HyperPhysics .

Quindi Stephen Hawking ha ragione! 🙂

Commenti

• $ R $ è il raggio della terra o il raggio dellorbita?
• Ma cosa ‘ per GPS è la differenza tra i timestamp di diversi satelliti, giusto? E poiché si trovano alla stessa altitudine, dovrebbero essere spostati nel tempo della stessa quantità, quindi le differenze dovrebbero essere sostanzialmente le stesse senza la relatività. Voglio dire che ‘ non importa quanto lerrore negli orologi sia dopo un giorno, poiché lerrore di localizzazione non è cumulativo, perché i satelliti ‘ gli orologi don ‘ t si allontanano luno dallaltro.
• Come indicato in questa risposta , è importante notare che i valori forniti corrispondono alla differenza tra i fattori sulla terra e in orbita, il che significa che le espressioni per $ T_1 $ e $ T_2 $ come dato don ‘ t restituisce i valori forniti, sebbene i valori forniti siano corretti. Punta del cappello a Michael Seifert che lo ha fatto notare.
• @Dims 15/300000000! = 100 * 10 ^ (- 6), è uguale a 5 * 10 ^ (- 8). Ho ottenuto la mia risposta semplicemente digitandola su google, ma dovrebbe essere facile vedere che 15 diviso per 3 sarà un 5 iniziale, non un 1.
• Molte informazioni sbagliate qui. Secondo lUS Naval Observatory (i creatori del GPS per sostituire LORAN): il GPS NON utilizza affatto calcoli di relatività (ripeto, NON utilizza calcoli di relatività).

Ecco larticolo della Ohio State University http://www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast162/Unit5/gps.html che spiega abbastanza bene perché gli orologi su un satellite GPS sono più veloci di circa 38 microsecondi ogni giorno. Larticolo afferma quindi che non la compensazione per questi 38 microsecondi al giorno causerebbe uno spegnimento GPS di circa 11 km al giorno, chiaramente inutilizzabile e afferma che questo (il fatto che dobbiamo compensare i 38 microsecondi per far funzionare il GPS) è una prova della Relatività Generale.

Il problema è che mentre gli orologi sono effettivamente spenti di 38 microsecondi al giorno e la Relatività Generale va bene, non dovremmo effettivamente compensarla.Il GPS della tua auto o del tuo telefono non ha un orologio atomico. Non ha un orologio sufficientemente preciso per aiutare con il GPS. Non misura quanto tempo ha impiegato il segnale per arrivare dal satellite A al GPS. Misura la differenza tra il segnale dal satellite A e il segnale dal satellite B (e altri due satelliti). Funziona se gli orologi sono veloci: As fintanto che sono tutti veloci della stessa identica quantità, ancora otteniamo i risultati giusti.

Cioè, quasi. I satelliti non stanno fermi. Quindi, se ci affidiamo a un orologio che è veloce di 38 microsecondi al giorno, facciamo i calcoli in base alla posizione di un satellite che è fuori di 38 microsecondi al giorno. Quindi lerrore non è (velocità della luce volte 38 microsecondi volte giorni), è (velocità del satellite volte 38 microsecondi volte giorno). Questo è di circa 15 cm al giorno. Bene, le posizioni dei satelliti vengono corrette una volta alla settimana. Spero che nessuno pensi che potremmo prevedere a lungo la posizione di un satellite senza errori.

Tornando al presupposto originale, che senza compensazione lerrore sarebbe di 11 km al giorno: gli orologi satellitari vengono moltiplicati per un fattore appena inferiore a 1 in modo che vadano alla velocità corretta. Ma questo non funzionerebbe. Leffetto che produce 38 microsecondi al giorno non è costante. Quando il satellite sorvola un oceano, la gravità è inferiore. La velocità del satellite cambia continuamente perché il satellite non vola su un cerchio perfetto attorno a una terra perfettamente rotonda fatta di materiale perfettamente omogeneo. Se GR creava un errore di 11 km al giorno non compensato, allora è del tutto inconcepibile che una semplice moltiplicazione di la velocità di clock sarebbe abbastanza buona da ridurla per rendere utilizzabile il GPS.

Commenti

• Bello. Ma devo dire che da un punto di vista filosofico posizione di uno sperimentatore, una macchina che costringe gli operatori a strapparsi i capelli (cosa che il GPS farebbe in assenza di GR) non ‘ funziona finché quei comportamenti non sono compresi (cosa che accadrebbe quando qualcuno ha inventato la GR per spiegare lanomalia). Ma questo ‘ è un punto filosofico.
• Questa è lunica risposta corretta in questa pagina. Il GPS era una prova significativa per GR perché possiamo confrontare la velocità degli orologi in orbita con quella terrestre. Tuttavia, la precisione del sistema GPS non è ‘ t dipende dai satelliti che mantengono lora esatta. Finché mantengono lo stesso tempo, il sistema funziona.
• In realtà, il GPS è una ” prova ” di GR per il motivo che dichiari. gnasher ha la risposta corretta: le equazioni di campo di Einstein non sono affatto utilizzate nel GPS (immagina il numero di calcoli coinvolti e la potenza del computer necessaria per sprecare tutta quellenergia – per non parlare del peso aggiunto ai satelliti – specialmente alcuni decenni fa)
• È ‘ vero che lunica cosa necessaria per determinare la posizione del ricevitore GPS rispetto ai satelliti è che gli orologi dei satelliti siano sincronizzati e la velocità di trasmissione sia la stessa. Ma questo ‘ è relativo ai satelliti. Lutente desidera che il ricevitore GPS calcoli dove si trova sulla Terra, il che richiede di tenere conto di dove sono in orbita i satelliti e di come ha ruotato la Terra. Questo è ‘ perché gli orologi satellitari devono essere sincronizzati con gli orologi a terra e perché vengono regolati per mantenerli sincronizzati.
• @ MC9000: Nessuno mai affermato che le equazioni di campo di Einstein sono risolte al volo dai computer dei satelliti GPS ‘. La geometria dello spaziotempo vicino alla Terra è approssimata abbastanza bene dallo spaziotempo di Schwarzschild, quindi non è necessario risolvere di nuovo le equazioni di campo. In particolare, la dilatazione del tempo in Schwarzschild è descritta da formule piuttosto semplici, quindi non sarebbe necessario un gran numero di crunch in primo luogo.

Puoi scoprirlo in dettaglio nelleccellente riepilogo qui: Cosa ci dice il sistema di posizionamento globale sulla relatività?

In poche parole:

1. Relatività generale prevede che gli orologi andare più lentamente in un campo gravitazionale più alto. Questo è lorologio a bordo dei satelliti GPS “fa clic” più velocemente dellorologio sulla Terra.
2. Inoltre, Relatività speciale prevede che un orologio in movimento è più lento di quello stazionario. Quindi questo effetto rallenterà lorologio rispetto a quello sulla Terra.

Come vedi, in questo caso i due effetti agiscono in direzione opposta ma il loro la magnitudine non è uguale, quindi non si cancellano a vicenda.

Ora, scopri la tua posizione confrontando il segnale orario di un certo numero di satelliti. Sono a una distanza diversa da te e poi ci vuole tempo diverso per la ricezione del segnale.Quindi il segnale del “Satellite A dice che in questo momento è 22:31:12” sarà diverso da quello che “sentirai dal Satellite B nello stesso momento ). Dalla differenza di orario del segnale e conoscendo le posizioni dei satelliti (il tuo GPS lo sa) puoi triangolare la tua posizione sul terreno.

Se non si compensano le diverse velocità di clock, la misurazione della distanza sarebbe sbagliata e la stima della posizione potrebbe essere centinaia o migliaia di metri o più lontano, rendendo il sistema GPS essenzialmente inutile.

Leffetto della dilatazione del tempo gravitazionale può anche essere misurato se si va dalla superficie terrestre a unorbita attorno alla terra. Pertanto, poiché i satelliti GPS misurano il tempo impiegato dai messaggi per raggiungerti e tornare indietro, è importante tenere conto del tempo reale in cui il segnale per raggiungere lobiettivo.

Commenti

• I segnali GPS non tornano al satellite, vanno solo al ricevitore AFAIK …
• Ma il punto principale è ancora valido, ed è che più tempo passa sullorologio del satellite ‘ che sul tuo orologio sulla terra, con rispetto a uno di voi.
• È interessante notare che la relatività generale non viene utilizzata di per sé nei calcoli per i sistemi GPS. Piuttosto, un bel trucco che coinvolge la relatività speciale (applicare una serie di trasformazioni di Lorentz in passi infinitesimali) è quello che fa. Questo risulta essere sufficientemente preciso e molto più semplice dal punto di vista computazionale.
• Puoi rilevare la dilatazione del tempo semplicemente trascorrendo qualche giorno in montagna. leapsecond.com/great2005/index.htm
• @endolith: … se porti con te un orologio atomico!

Non credo che il GPS ” dipenda dalla relatività ” nel senso che una civiltà tecnologica che non ha mai scoperto la relatività speciale / generale non sarebbe in grado di realizzare un sistema GPS funzionante. Puoi sempre confrontare lorologio di un satellite con gli orologi a terra e regolare la velocità fino a quando non si discostano dalla sincronizzazione, indipendentemente dal fatto che si capisca o meno il motivo per cui si sono disconnessi. In effetti, li sincronizzano empiricamente, non fidandosi ciecamente di un calcolo teorico.

Chiedere cosa accadrebbe se gli orologi andassero alla deriva di 38 μs / giorno (per qualsiasi motivo) è uno strano controfattuale perché suggerisce che nessuno sta mantenendo il sistema, nel qual caso presumibilmente soccomberebbe rapidamente a vari altri problemi di origine non relativistica. Se qualcuno sta mantenendo sincronizzate alcune parti del sistema, è probabile che tu debba specificare quali parti. Ad esempio, se i satelliti conoscono accuratamente la loro posizione rispetto a un telaio inerziale che si muove con il centro della terra, ma lorientamento del la terra è calcolata dallora del giorno, quindi avresti un errore di posizione cumulativo di 38 μs di rotazione terrestre, o un paio di centimetri allequatore, al giorno. Ma se i satelliti conoscono accuratamente la loro posizione rispetto a un sistema di riferimento rotante, lerrore sarebbe molto più piccolo.