Perché la forza è un vettore?

Uhm … inizi con un oggetto in riposare e notare che se lo spingi in direzioni diverse si muove in direzioni diverse? Quindi nota che puoi disporre più di due (tre per geometrie planari e quattro per geometrie 3D complete) forze non colineari per annullarsi a vicenda (si spera che tu abbia fatto un esercizio di tabella delle forze nella tua classe e lhai fatto tu stesso).

La dimostrazione su un oggetto già in movimento è leggermente meno ovvia ma puoi prendere qui le idee e generalizzarle.

In un certo senso è così ovvio che è difficile rispondere perché quasi qualsiasi cosa fai con le forze fa uso della loro natura vettoriale.

Commenti

• È ovvio solo per le persone che sono abituati ai vettori. Dopo un po ti ci abitui così tanto che dimentichi che era difficile imparare. Dimentichi quello che hai fatto e ‘ non sapevi in quel momento. Questo rende difficile spiegare bene le cose ai principianti. Ad esempio, il commento di safeshere ‘ è corretto. Ma qualcuno che si sta chiedendo perché la forza è un vettore si chiederà anche perché lo slancio. Ricordo bei Confuso che lenergia cinetica ha una direzione ovvia, ma non è ‘ t un vettore.
• Lenergia cinetica non ha una direzione. Lo slancio di un oggetto ha una direzione. Un oggetto da 500 g che si muove a 2 m / s nella direzione x positiva non ha lo stesso momento di un oggetto da 500 g che si muove a 2 m / s nella direzione x negativa, ma entrambi hanno la stessa energia cinetica.
• @BillN mmesser314 ne è consapevole, ma è un malinteso abbastanza comune tra gli studenti introduttivi (soprattutto quelli più riflessivi). Critica lidea che ” guarda che questo ha una direzione ” è uno strumento abbastanza buono da fornire agli studenti per distinguere i vettori dai non vettori. Non sono daccordo perché ‘ preferisco affrontare la questione dellenergia cinetica piuttosto che cercare di dare agli studenti introduttivi una definizione più astratta di ‘ vettore ‘, ma è un punto che vale la pena considerare.
• @dmckee Sì, oggi stavo facendo un cenno a Biot-Savart cercando di spiegare perché lattuale, $ I $, non è ‘ un vettore, ma $ d \ vec {\ ell} $ lo è. Mi sono quasi soffocato mentre borbottavo. 🙂 Questo ‘ è ancora un vettore non soddisfacente per me, ma tengo il naso e vado avanti.
• @BillN Penso che il tuo esempio KE sia un buon esempio del motivo per cui questo può essere complicato pochi nuovi arrivati alla fisica. Trovo ‘ non necessariamente ovvio che a KE manchi un componente di direzione finché ‘ non avrai eseguito alcuni esperimenti che dimostrano che esiste un ” energia ” a cui vale la pena prestare attenzione

I vettori sono cose che si aggiungono come piccole frecce. Le frecce aggiungono la punta alla coda.

Il numero di rocce non è un vettore. 2 rocce + 2 rocce = 4 rocce.

Lo spostamento è un vettore. Se ti muovi di 2 piedi a sinistra e di 2 piedi a sinistra, ti sei spostato di 4 piedi. Due frecce lunghe 2 piedi che puntano a sinistra con la punta aggiunta alla coda sono equivalenti a una freccia lunga 4 piedi che punta a sinistra.

Se ti muovi di 2 piedi a sinistra e 2 piedi a destra, sei tornato allinizio. Questo è lo stesso non muoversi affatto. Non puoi aggiungere rocce in questo modo.

La forza aggiunge in questo modo. Due piccole forze a sinistra sono equivalenti a una grande forza a sinistra. Le forze uguali a sinistra ea destra sono equivalenti a nessuna forza. Questo è perché la forza è un vettore.

Modifica – I commenti sollevano un punto che ho sorvolato. Questo punto di solito non viene sollevato quando si introducono i vettori.

I matematici definiscono un vettore come cose che si comportano come piccole frecce quando sommate e moltiplicate per scalari. I fisici aggiungono un altro requisito. I vettori devono essere invarianti rispetto alle trasformazioni del sistema di coordinate.

Una piccola freccia esiste indipendentemente da come la guardi. Una piccola freccia non cambia quando ti giri, quindi ora è rivolta in avanti. Allo stesso modo, le freccette non cambiano se si ruota la freccia in modo che sia rivolta in avanti.

Questo perché lo spazio è omogeneo e isotropo. Non ci sono luoghi o direzioni speciali nello spazio che cambierebbero te o una freccia se spostati in una nuova posizione o orientamento. (Se ti allontani dalla Terra la gravità è diversa. Se questo è importante, devi spostare anche la Terra.)

Al contrario, uno scalare è un numero singolo che non cambia durante le trasformazioni del sistema di coordinate. Il numero di rocce è uno scalare.

Le coordinate che descrivono un vettore cambiano quando il sistema di coordinate viene modificato. La componente sinistra di un vettore non è uno scalare.

Esiste uno spazio vettoriale matematico 1-D parallelo alla coordinata sinistra di un vettore. Se si ruota il sistema di coordinate, potrebbe essere parallelo a quello che è diventato il componente in avanti. Un fisico non direbbe che è uno spazio vettoriale.

Commenti

• Ciò che hai spiegato, corrisponde anche a uno scalare con segno. Avresti dovuto includere un ” forward ” o ” up ” movimento per renderlo più chiaro.
• @RalfKleberhoff – Vero. Hai sollevato un buon punto.
• @RalfKleberhoff In che modo uno scalare con segno non è un vettore in una singola dimensione? Veramente. Questo mi ha sempre confuso. Sembra avere molto, molto di più in comune con i vettori che con gli scalari.
• @ jpmc26 physics.stackexchange.com/questions/35562/…
• @ jpmc26 – Bella domanda. Ho aggiornato la mia risposta per risolverlo.

Un problema minore: la forza è non un vettore. Come lo slancio, è un covettore o una forma e covariante. Puoi vederlo in diversi modi:

• dal principio del lavoro virtuale: la forza è una funzione lineare che mappa spostamenti infinitesimi $ \ delta \ mathbf {x} $ (un vettore) a cambiamenti infinitesimali in energia $ F \ delta \ mathbf {x} $ (uno scalare) e quindi un covettore per definizione.
• Seconda legge di Newton $ F = ma $: laccelerazione è un vettore, che viene “abbassato di indice” dalla massa per dare forza.
• Le forze conservative derivano dal differenziale di energia potenziale, $ F = -dV $, e il differenziale di una funzione è una forma unica (covariante).

La differenza tra un vettore e un covettore potrebbe non avere senso se tu “Stai appena iniziando a imparare la fisica, e per ora, sapere che le forze possono essere” aggiunte dalla punta alla coda “come i vettori può essere sufficiente per calcoli pratici. Ma è qualcosa a cui dovresti iniziare a prestare attenzione man mano che la tua comprensione matura: come lanalisi dimensionale, tenere traccia attentamente di ciò che sono i tuoi oggetti fisici, matematicamente, è utile sia per costruire una comprensione più profonda che per individuare gli errori.

Commenti

• Penso che questo sia un commento utile perché illustra che ” questo è il modo più naturale di pensare alla forza ” in effetti non è necessariamente vero. Le copertine sono cose abbastanza naturali e puoi immaginare un curriculum che ha funzionato con loro tanto quanto con i vettori. È una tradizione del nostro sistema educativo che non lo facciamo (almeno esplicitamente).
• @FrancisDavey Preferirei dire che la tradizione è che non facciamo la distinzione tra vettori e convettori fino a troppo tardi e chiamali semplicemente tutti i vettori. (Non ‘ ho imparato la distinzione esplicitamente fino a quando non ho preso la relatività generale, o forse la meccanica quantistica con reggiseni e kets. Dovrebbe ‘ erano espliciti nel primo corso di algebra lineare, dove apparivano come vettori colonna e vettori riga, ma non era ‘ t esplicito.)
• Non valeva un voto negativo, ma sicuramente non merita un voto positivo. ‘ non sono entusiasta di questa ” come le cose trasformano ” definizione di ciò che costituisce un ” vettore “. La definizione matematica di un vettore è molto più semplice: i vettori sono membri di uno spazio vettoriale, uno spazio dotato di due operazioni, che obbediscono a otto semplici assiomi. Secondo questa definizione, le forze (nella meccanica newtoniana) sono vettori.
• @DavidHammen Un ” vettore ” può significare uno 1) un vettore tangente , cioè un elemento del fascio tangente (o più in generale, i (0,1) -tensori di unalgebra tensoriale) o 2) un elemento di uno spazio vettoriale generale. Di solito in fisica quando diciamo ” vettore ” intendiamo ” (tangente) vettore “: non ‘ chiamare scalari, funzioni, 2-tensori o addirittura covettori ” vectors ” anche se tecnicamente sono tutti elementi di uno spazio vettoriale. Si noti che per definizione n. 2, anche lOP ‘ s ” è forza un vettore o uno scalare ” è una domanda senza senso!
• Tutte queste cose sono vettori autentici. In genere non ‘ chiamiamo questi vettori perché ‘ non è tipicamente una funzione utile. Se ‘ stai utilizzando una definizione diversa di ” vector ” dovrebbe essere scritto per esteso .

Laccelerazione si trasforma come un vettore tridimensionale sotto rotazioni (gruppo O (3)).

Laccelerazione si trasforma come un 4-vettore sotto rotazioni e aumenti (gruppo di Lorentz O (3,1)).

Laccelerazione potrebbe benissimo essere parte di una struttura più ampia (ad esempio: 2 tensore dellindice ) sotto un gruppo più ampio di trasformazioni tra cui rotazioni, potenziamenti, deformazioni e traslazioni.

Il mio punto è che, quando dici che laccelerazione (o la forza) è un 3-vettore (o qualcosaltro), devi specificare per quale gruppo di trasformazioni. Ad esempio, “laccelerazione si trasforma come un vettore tridimensionale sotto rotazioni” ed è per questo che lo chiamiamo vettore tridimensionale.

Commenti

• Questa domanda riguardava chiaramente la fisica newtoniana, che lautore ‘ non comprende appieno. ‘ ti stai intromettendo con clausole da aree molto più complicate della fisica (di cui lautore potrebbe non aver bisogno). ‘ è lequivalente di qualcuno che chiede della ‘ legge di Bernoulli e tu chiedi loro di specificare se il fluido è viscoso. Spiega i termini che usi e abbina il livello di tecnicismo alla domanda.
• @CodyP Non intromettersi affatto! Beh, forse la teoria dei gruppi è un po più alta del necessario qui, ma … La definizione di un vettore è intimamente legata a come la quantità si comporta sotto la rotazione delle coordinate. Il fatto che semplifichiamo questa idea per ” grandezza e direzione ” ‘ non rimuove limportanza di comprendere la rotazione dei sistemi di coordinate e cosa ‘ è invariante e cosa ‘ no. Potrebbe essere avanzato, ma ‘ è essenziale per rispondere allOP. A livello di Kleppner e Kalenkow, la persona dovrebbe essere introdotta a una definizione più ampia di vettori e rotazioni di coordinate.
• @CodyP Domande sui siti Stack Exchange aren ‘ t solo per lOP. Sono anche una risorsa durevole per i visitatori successivi. Le risposte di vario livello sono una cosa desiderabile, anche se è improbabile che Gary ottenga l ‘ accettazione dellOP.
• Vero, ma ‘ è ancora utile per comprendere il tuo pubblico di destinazione e definire termini come boost, tensore o anche ” gruppo di trasformazioni “. Puoi, per analogia, parlare degli effetti della viscosità in una domanda sulla legge di Bernoulli ‘, ma farlo senza attenzione è più probabile che suoni pedante e confuso che utile e chiaro.
• @CodyP true, ma forse un giorno OP rivisita le loro domande e capisce questo

La vera risposta a mio parere non sono alcuni argomenti filosofici sottostanti su cosa sia una forza. La vera risposta è che pensare alla forza come un vettore ti dà un modello che soddisfa il singolo criterio più importante per qualsiasi modello: è daccordo con esperimento. È anche bello e semplice, il che è un ulteriore vantaggio.

Pensare alle forze come vettori ti consentirà di elaborare previsioni di ciò che accade quando fai esperimenti, in particolare esperimenti in cui applichi diversi forze contemporaneamente. Ad esempio, metti una cassa sul ghiaccio e tirala usando corde con squame elastiche incorporate in esse per misurare lentità di tutte le forze è coinvolto. Misura e annota tutte le forze e le loro direzioni, pensa alle forze come vettori e calcola la forza risultante che agisce sulla cassa, che dovrebbe darti una previsione della sua accelerazione. Quindi misurare la sua accelerazione effettiva. I due dovrebbero concordare, entro qualche errore.

Le persone hanno condotto esperimenti come questo, sia più che meno sofisticati, per molto tempo e finora non abbiamo trovato nulla che indichi che pensare alle forze come vettori dà il risultato sbagliato. Quindi pensare a le forze come vettori molto probabilmente forniranno risultati accurati la prossima volta che avremo bisogno di calcolare anche una previsione.

Quindi impariamo a pensare alle forze come vettori perché funzionano. E poi i filosofi possono discutere su perché funziona, di solito inserendolo nel contesto di un quadro più ampio, che ha anche resistito alla prova degli esperimenti.

Detto questo, ci sono modi per arrivare allidea di considerare che la forza è un vettore. In particolare, ogni forza ha una direzione e una grandezza. Come sottolineato in altri commenti, questo non significa necessariamente che debba essere un vettore (lenergia cinetica ha chiaramente una direzione e una grandezza, ma di solito non è pensata come un vettore). Ma è sufficiente chiedersi se potrebbe essere un vettore e iniziare a progettare esperimenti attorno a tale ipotesi.

Commenti

• Cambiamenti nellenergia cinetica sono scalari. Non cè energia cinetica assoluta; se unenergia cinetica assoluta è data come vettore, si intende che sia relativa a un sistema di riferimento e in pratica indica la quantità di energia che verrebbe convertita se loggetto dato smettesse di muoversi rispetto a quel fotogramma. Non può essere trattato semplicemente come un vettore; per esempio due masse uguali che si muovono in direzioni opposte, alla stessa velocità rispetto al sistema di riferimento, non aggiungono energia cinetica a zero.
• @Kaz Your ” Tuttavia, nessun commento ” assoluto si applica anche allo slancio, quindi ‘ non è una buona ragione poiché lo slancio si è dimostrato utile per pensare circa come un vettore. Inoltre, ” due masse uguali che si muovono in direzioni opposte, alla stessa velocità rispetto al sistema di riferimento, non aggiungere allenergia cinetica zero ” Non ‘ non vedo il problema. Lenergia cinetica diventa energia interna se si considerano i due oggetti come un unico sistema. Il problema si verifica quando si passa a un sistema di riferimento in movimento, nel qual caso il vettore della somma dellenergia cinetica diventerebbe diverso da zero. Questa non è una buona proprietà di trasformazione vettoriale.
• (Ovviamente diventa diverso da zero. Sono solo stanco. Il vero problema è che quale vettore diverso da zero diventa dipende dalle proprietà interne del sistema. I due oggetti hanno le stesse dimensioni e si muovono alla stessa velocità oppure un oggetto è più grande e più lento? Ciò influisce sul ” vettore “.)

Anchio avevo questa domanda in precedenza e ci ho dedicato 5 ore buone. Alla fine, la spiegazione di ciò è solo che lo spostamento agisce come un vettore. E anche laccelerazione, essendo la sua doppia derivata, agisce come tale. Perché lo spostamento si comporta come un vettore ?? Ebbene, segue le regole della trigonometria e gli spostamenti in una direzione è indipendente dallo spostamento perpendicolare ad esso. Quindi, definiamo concetti vettoriali per comprendere questo comportamento. Perché lo spostamento segue le regole della trigonometria ?? Ebbene, questo è stato più o meno trovato osservando piuttosto che derivando. La base più fondamentale di tutto in matematica è anche losservazione e la logica dopotutto.

Per ottenere la parte buffa da a proposito: sai che la forza è un vettore dalla sua definizione.

Per dimostrare che lo è davvero, faresti degli esperimenti: inizia attaccando tre bilance a molla (come quelle che i pescatori usano per pesare i pesci) luna allaltra nello stesso punto e tira le altre estremità del scala orizzontalmente ad angoli di 120 gradi con uguale forza diversa da zero F. La configurazione è nel bellissimo grafico ASCII qui sotto, e puoi dire che le forze sono uguali guardando le letture su ciascuna scala.

 F / / F ----- o \ \ F 

Noterai anche che il punto di attacco al centro rimane fermo, cioè la forza netta è zero.

Se F fosse uno scalare, sarebbe impossibile aggiungere o sottrarre esattamente 3 F diversi da zero in qualsiasi ordine e ottenere 0 come risultato.

Ora che sai che la forza non è uno scalare, proveresti quindi a trovare un modo per far sì che le tre F si sommino a zero e noterai che se accoppi la direzione di ciascuna molla a ciascuna F, puoi ottenere esattamente questo:

 F-----F if you consider the direction each \ / spring was pulled, you can rearrange \ / the forces so that they form a loop, F that is, they add to zero. 

Dovresti quindi condurre ulteriori esperimenti, in varie configurazioni, e scoprire che in ogni caso, trattare la forza come uno scalare accoppiato con una direzione dà il risultato corretto, a quel punto tu sarebbe giustificato dire: ai fini del calcolo, la forza ha sia una grandezza che una direzione .

Un vettore, daltra parte, non è altro che una grandezza accoppiata a una direzione, quindi hai dimostrato sperimentalmente che entro i limiti di misurazione, force è un vettore .

Dipende dalla natura del il tuo approccio e la tua interpretazione della parola “vettore”. Concettualmente, un vettore spaziale è un oggetto matematico utilizzato per incapsulare quantità che hanno sia una grandezza che una direzione. Quando applichi una forza a qualcosa, il risultato netto sul movimento di quelloggetto dipende non solo da quanto lo stai spingendo, ma anche dalla direzione in cui lo stai spingendo, quindi è necessario modellare le forze in un modo che la componente di direzione in considerazione. Questo è vero tanto nelle tre dimensioni quanto in una. Questo è il modo più semplice per pensarci.

Da una prospettiva matematica, come hai già detto, è implicito nella definizione.

“Abbiamo concentrato la nostra discussione sul movimento unidimensionale. È naturale presumere che per il movimento tridimensionale, la forza, come laccelerazione, si comporti come un vettore. “- (Introduzione a Mechanics) Kleppner e Kolenkow.

Lo stesso Newton fece della natura vettoriale delle forze il primo e il secondo corollario delle sue tre leggi del moto:

Corollario I:
Un corpo di due forze congiunte descriverà la diagonale di un parallelogramma, nello stesso tempo in cui descriverebbe i lati, da quelle forze separate .

Corollario II:
E quindi viene spiegata la composizione di una qualsiasi forza diretta AD, tra due forze oblique AC e CD; e, al contrario, la risoluzione di una qualsiasi forza diretta AD in due forze oblique AC e CD: la cui composizione e risoluzione sono abbondantemente confermate dalla meccanica.

In breve, le forze sono vettori cartesiani, in senso matematico di ciò che costituisce un vect oppure.

La derivazione di quei corollari nei Principia è piuttosto sospetta. La seconda legge di Newton affronta la forza netta sulloggetto, mentre la terza legge di Newton affronta il modo in cui le forze individuali si presentano in coppia. Ma come mettere in relazione quelle forze individuali con la forza netta? A differenza di Kleppner e Kolenkow, altri testi fanno un lavoro migliore, affermando che le forze sono vettori è in effetti la quarta legge del movimento di Newton.

Una risposta dellonda della mano (ad esempio, Kleppner e Kolenkow) è affermare che le forze ovviamente agiscono come vettori, e poi vanno avanti. Una risposta non dellonda della mano è affermare assiomaticamente che le forze sono vettori, e poi andare avanti. Cè una differenza sottile ma significativa tra queste due risposte. La risposta dellonda della mano lascia gli studenti confusi. Laffermazione assiomatica invita gli studenti a mettere in discussione lassioma. Il passo successivo è ovviamente quello di verificare se lassioma si applica in un ambiente di laboratorio.

In realtà, una forza fisica è non un vettore. È una linea in 3D. Una linea con una grandezza. Una forza fisica contiene le seguenti proprietà

• Direzione, $ \ mathbf {e} $
• Un punto ovunque lungo la linea, $ \ mathbf {r} $
• Magnitudine, $ F $

Per descrivere una forza fisica con un vettore, combina la grandezza e la direzione in $ \ mathbf {F} = F \, \ mathbf {e } $ un singolo vettore. Ma questo manca ancora delle informazioni necessarie per descrivere una forza fisica.

Hai anche bisogno di una posizione (il punto di applicazione, o la linea di azione come viene chiamata). Qui puoi scegliere tra un punto effettivo $ \ mathbf {r} $, o il momento equipollente sullorigine $ \ mathbf {M} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} $. Se scegli il secondo, puoi recuperare il punto con $ \ mathbf {r} = \ frac {\ mathbf {F} \ times \ mathbf {M}} {\ | \ mathbf {F} \ | ^ 2} $.

Il vettore di forza che conosci è comunemente usato perché obbedisce alle regole dellalgebra vettoriale

• Laddizione è fatta per componente $$ \ mathbf {F} _1 + \ mathbf {F} _2 = \ pmatrix {{Fx} _1 + {Fx} _2 \\ {Fy} _1 + {Fy} _2 \\ {Fz} _1 + {Fz} _2} $$
• Il ridimensionamento viene eseguito dal componente $$ \ lambda \, \ mathbf {F} = \ pmatrix {\ lambda \, {Fx} \\ \ lambda \, {Fy} \\ \ lambda \ , {Fz}} $$
• Ma le posizioni di due fuochi non si sommano come vetor.

Per rappresentare le forze fisiche con i vettori hai bisogno di 6 quantità di componenti chiamate viti $$ \ hat {f} = \ left [\ matrix {\ mathbf {F} \\ \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}} \ right] $$ che seguono le regole dellalgebra lineare e portano le informazioni posizionali al loro interno, producendo i risultati geometrici e algebrici corretti.

Commenti

• È questa la definizione n-esima di una forza ” vector “?
• Leggi questo post per la definizione di un vettore di vite.

Pensiamo a cosa accadrebbe se la forza fosse non un vettore.

Innanzitutto, tieni presente che:

Le leggi della fisica sono invarianti nello spazio. Un oggetto si comporta allo stesso modo quando viene agito da una forza, sia a Parigi che a Pechino.

Inoltre, notiamo:

Le leggi della fisica sono invarianti rispetto alla rotazione spaziale. Calciare un pallone da calcio lo farà allontanare da te indipendentemente dal fatto che tu sia rivolto a Ovest o Est.

Ora immagina di aver applicato una forza a una palla appoggiata su un tavolo. Diciamo che osserviamo che:

La palla inizia a rotolare verso est a una velocità di 1 m / s.

Aspetta. Da dove viene “est”? Perché la palla non rotola ovest ? Quindi, concludiamo naturalmente:

Ci devono essere alcune informazioni aggiuntive contenute nel forza che abbiamo applicato alla palla.

Queste informazioni aggiuntive sono direzione .

Secondo la seconda legge del moto di Newton, la forza che agisce su un corpo è proporzionale alla velocità di variazione della quantità di moto ed è nella direzione in cui la forza viene applicata. Ora dallaffermazione puoi vedere che la forza ha una grandezza e una direzione. Quindi è un vettore. Puoi anche vederlo come il prodotto scalare di massa (scalare) e accelerazione (vettore) che ti darà un vettore.