Perché la gravità della Terra ' è più forte ai poli?

Il punto è che se approssimiamo la Terra con un ellissoide oblato, la superficie della Terra è una superficie equipotenziale , $ ^ 1 $ vedi ad es. questo post di Phys.SE.

Ora, poiché il raggio polare è inferiore al raggio equatoriale, la densità delle superfici equipotenziali ai poli deve essere maggiore di quella allequatore.

In alternativa, lintensità di campo $ ^ 2 $ $ g $ ai poli deve essere maggiore di quella allequatore.

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$ ^ 1 $ Notare che il potenziale qui si riferisce alleffetto combinato delle forze gravitazionali e centrifughe. Se versiamo un po dacqua su una superficie equipotenziale, non ci sarebbe una direzione di flusso preferita.

$ ^ 2 $ Allo stesso modo, lintensità di campo, nota come piccola $ g $ , si riferisce alla effetto combinato delle forze gravitazionali e centrifughe, anche se $ g $ viene spesso (casualmente e in qualche modo fuorviante) indicata come costante gravitazionale sulla superficie della Terra.

Commenti

• Largomento ” sei più vicino al centro di massa ” funziona?
• Bello. Sebbene la risposta non utilizzi mai il termine ” forza centrifuga, ” che ‘ è implicito in largomento, perché lequipotenziale è un equipotenziale nel frame rotante.
• @Floris – Largomento per cui ” sei più vicino al centro di massa ” kinda-sort funziona, dove kinda-sorta significa circa 3/2 (al contrario di uno) in questo caso. Circa 2/3 della riduzione allequatore è attribuibile al fatto che lequatore si trova a 21 km più lontano dal centro della Terra. Laltro 1/3 è direttamente dovuto alla forza centrifuga (e ovviamente quel primo 2/3 è indirettamente dovuto alla forza centrifuga).
• @DavidHammen – Immagino che nei miei libri ” la gravità ” è solo lattrazione tra due oggetti massicci; la forza subita da una massa sulla superficie terrestre è modulata sia in distanza che in rotazione, ma solo la prima è ” gravità ” in i miei libri. Inoltre, poiché OP ha affermato di aver compreso la parte della rotazione, stavo davvero suggerendo di concentrarsi sul modo più semplice per affermare la seconda parte.
• Penso che Lubos molto tempo fa abbia scritto una risposta che spiega in qualche modo perché gravitazionale a causa dellequatoriale rigonfiamento è diverso da quello che si potrebbe pensare ingenuamente. ‘ vedrò se riesco a trovare quella risposta.

Molti luoghi affermano che la gravità della Terra è più forte ai poli rispetto allequatore per due ragioni:

1. La centrifuga la forza annulla minimamente la gravità, più allequatore che ai poli.
2. I poli sono più vicini al centro a causa del rigonfiamento equatoriale, e quindi hanno un campo gravitazionale più forte.

Versione TL; DR: ci sono tre ragioni. In ordine di grandezza,

1. I poli sono più vicini al centro della Terra a causa del rigonfiamento equatoriale. Questo rafforza la gravitazione ai poli e la indebolisce allequatore.

2. Il rigonfiamento equatoriale modifica il modo in cui la Terra gravita. Questo indebolisce la gravitazione ai poli e la rafforza allequatore.

3. La Terra sta ruotando, quindi un osservatore legato alla Terra vede una forza centrifuga. Non ha effetto ai poli e indebolisce la gravitazione allequatore.

Vediamo come le due spiegazioni nella domanda si confrontano con losservazione.La tabella seguente confronta ciò che un modello di gravità sferico con meno accelerazione centrifuga prevede per laccelerazione gravitazionale a livello del mare allequatore ($ g _ {\ text {eq}} $) e al polo nord ($ g _ {\ text {p}} $) rispetto ai valori calcolati utilizzando la consolidata formula della gravità di Somigliana $ g = g _ {\ text {eq}} (1+ \ kappa \ sin ^ 2 \ lambda) / \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 \ lambda } $.

$ \ begin {matrix} \ text {Quantity} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & \ text {Total} & \ text {Somigliana} & \ text {Error} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & 9.76436 & 9.78033 & -0.01596 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & 9.86431 & 9.83219 & \ phantom {-} 0,03213 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0,06604 & \ phantom {-} 0,03392 & 0,09995 & 0,05186 & \ phantom {-} 0,04809 \ end {matrix} $

Questo semplice modello funziona in senso qualitativo. Mostra che la gravitazione al polo nord è maggiore che allequatore. Quantitativamente, questo semplice modello non è molto buono. Sovrastima notevolmente la differenza tra la gravità al polo nord rispetto allequatore, quasi di un fattore due.

Il problema è che questo semplice modello non tiene conto dellinfluenza gravitazionale del rigonfiamento equatoriale. Un modo semplice per pensare a quel rigonfiamento è che aggiunge massa positiva allequatore ma aggiunge massa negativa ai poli, per una variazione netta di massa pari a zero. La massa negativa al polo ridurrà la gravitazione in prossimità del polo, mentre la massa positiva allequatore aumenterà la gravitazione equatoriale. Questo è esattamente ciò che ha ordinato il dottore.

Matematicamente, ciò che fa il movimento di masse è creare un momento quadrupolare nel campo gravitazionale della Terra. Senza entrare nei dettagli delle armoniche sferiche, questo aggiunge un termine uguale a $ 3 J_2 \ frac {GMa ^ 2} {r ^ 4} \ left (\ frac 3 2 \ cos ^ 2 \ lambda – 1 \ right) $ al forza gravitazionale, dove $ \ lambda $ è la latitudine geocentrica e $ J_2 $ è la seconda forma dinamica della Terra. Aggiungendo questo termine quadrupolo alla tabella sopra si ottiene quanto segue:

$ \ begin {matrice} \ text {Quantity} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & J_2 \, \ text {term} & \ text {Total} & \ text {Somigliana} & \ text {Error} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & \ phantom {-} 0,01591 & 9.78027 & 9.78033 & -0.00005 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & – 0,03225 & 9.83206 & 9.83219 & -0.00013 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0,06604 & \ phantom {-} 0,03392 & -0,04817 & 0,05179 & 0,05186 & -0.00007 \ end {matrix} $

Questa semplice aggiunta del quadrupolo ora crea una corrispondenza molto carina.

I numeri che ho usato sopra:

• $ \ mu_E = 398600.0982 \, \ text {km} ^ 3 / \ text {s} ^ 2 $, il parametro gravitazionale della Terra meno il contributo atmosferico.

• $ R_ \ text {eq} = 6378.13672 \, \ text {km} $, il raggio equatoriale della Terra (valore medio della marea).

• $ 1 / f = 298.25231 $, lappiattimento della Terra (marea media value).

• $ \ omega = 7.292115855 \ times 10 ^ {- 5} \, \ text {rad} / \ text {s} $, la rotazione della Terra tasso.

• $ J_2 = 0,0010826359 $, il secondo fattore di forma dinamico della Terra.

• $ g_ {\ text {eq}} = 9.7803267714 \, \ text {m} / \ text {s} ^ 2 $, gravitazione a livello del mare allequatore.

• $ \ kappa = 0,00193185138639 $, che riflette la differenza osservata tra la gravità allequatore rispetto ai poli.

• $ e ^ 2 = 0,00669437999013 $, il quadrato delleccentricità della figura di la Terra.

Questi valori provengono principalmente da Groten, “Parametri fondamentali e migliori stime attuali (2004) dei parametri di rilevanza comune per lastronomia, la geodesia e la geodinamica. ” Journal of Geodesy , 77: 10-11 724-797 (2004) , con il parametro gravitazionale standard modificato per escludere la massa dellatmosfera. Latmosfera terrestre ha un effetto gravitazionale sulla Luna e sui satelliti, ma non tanto sulle persone che si trovano sulla superficie della Terra.

Commenti

• Re ” I poli sono più vicini al centro della Terra a causa al rigonfiamento equatoriale. Questo rafforza la gravitazione ai poli e la indebolisce allequatore. ” : Questo sarebbe non sarebbe vero se la Terra avesse una distribuzione di massa uniforme .
• @PeterMortensen – Non è corretto. Anche se la Terra avesse una densità uniforme, laccelerazione gravitazionale al polo sarebbe maggiore di quella allequatore di un fattore di circa $ 1 + \ frac 1 5 f $, dove $ f $ è il fattore di appiattimento. Vedi Distribuzione della forza gravitazionale su uno sferoide non rotante oblato .
• It ‘ è davvero utile avere tutto questo in un unico posto; Non mi sono mai reso conto della gravità della situazione finché non ho affrontato tutto in una volta.

Qui “un semplice argomento che non richiede alcuna conoscenza di cose fantasiose come equipotenziali o sistemi di riferimento rotanti. Immagina di poter ruotare gradualmente la Terra sempre più velocemente. Alla fine sarebbe volato via. Nel momento in cui ha iniziato a volare via, ciò che sarebbe accaduto sarebbe che le porzioni di terra allequatore sarebbero a velocità orbitale. Quando sei in orbita, provi unapparente assenza di gravità, proprio come gli astronauti sulla stazione spaziale.

Quindi, in un punto dellequatore, lapparente accelerazione di gravità $ g $ (cioè, ciò che misuri in un laboratorio fissato alla superficie terrestre) scende a zero quando la terra gira abbastanza velocemente. Per interpolazione, ci aspettiamo che leffetto dello spin effettivo dovrebbe essere quello di diminuire $ g $ allequatore, rispetto al valore che avrebbe se la terra non ruotasse.

Nota che questo argomento automaticamente prende in considerazione la distorsione della terra lontano dalla sfericità. La forma oblata è solo una parte dellinterpolazione tra sfericità e rottura.

È diversa ai poli. Non importa quanto velocemente giri la Terra, una parte della Terra al Polo Nord non sarà mai in orbita. Il valore di $ g $ cambierà a causa del cambiamento nella forma della terra, ma quelleffetto deve essere relativamente debole, perché non può mai portare alla rottura.

La differenza nellaccelerazione in caduta libera tra i poli e lequatore ha due fattori che contribuiscono. Li discuterò uno per uno.

Ai poli il valore misurato laccelerazione gravitazionale è 9,8322 $ m / s ^ 2 $
Allequatore laccelerazione gravitazionale misurata è 9,7805 $ m / s ^ 2 $

Dato il raggio equatoriale della Terra e la velocità di rotazione della Terra puoi calcolare quanta accelerazione centripeta è necessaria per co-ruotare con la Terra quando ti trovi sullequatore. Il valore corrisponde a 0,0339 $ m / s ^ 2 $

Questa accelerazione centripeta richiesta (allequatore) va a scapito della vera accelerazione gravitazionale allequatore.

Quindi possiamo ricostruire quale sarebbe laccelerazione gravitazionale equatoriale su un corpo celeste con le stesse dimensioni, densità e rigonfiamento equatoriale della Terra, ma non rotante.

Accelerazione gravitazionale reale: 9.7805 + 0.0339 = 9.8144 $ m / s ^ 2 $

Quindi cè ancora una differenza di 0,0178 $ m / s ^ 2 $

Quella differenza rimanente è dovuta allappiattimento della Terra: sullequatore sei più lontano dal centro di attrazione gravitazionale della Terra che ai poli.

Il punto è che tutti gli effetti sono stati presi in considerazione. La matematica potrebbe riassumere quelleffetto di più massa sotto i piedi ancora meno delleffetto di distanza dal centro di massa

Un altro punto di vista è. Allequatore ci sono rigonfiamenti vicino a te. Ma da ogni altra parte della terra il rigonfiamento è lontano da te. Confronta con il palo che tutto il rigonfiamento è ugualmente lontano da te, che rappresenta la differenza