Perché laspettativa è uguale alla media aritmetica?

Informalmente, una distribuzione di probabilità definisce la frequenza relativa dei risultati di una variabile casuale: il valore atteso può essere considerato come una media ponderata di tali risultati (ponderata in base alla frequenza relativa). Allo stesso modo, il valore atteso può essere pensato come la media aritmetica di un insieme di numeri generati in proporzione esatta alla loro probabilità di accadere (nel caso di una variabile casuale continua questo non è “t esattamente vero poiché valori specifici hanno probabilità $ 0 $).

La connessione tra il valore atteso e la media aritmetica è più chiara con una variabile casuale discreta, dove il valore atteso è

$$ E ( X) = \ sum_ {S} x P (X = x) $$

dove $ S $ è lo spazio campione. Ad esempio, supponi di avere una variabile casuale discreta $ X $ tale che:

$$ X = \ begin {cases} 1 & \ mbox {con probabilità} 1/8 \\ 2 & \ mbox {con probabilità} 3/8 \\ 3 & \ mbox {con probabilità} 1/2 \ end {case} $$

Cioè, la funzione di massa di probabilità è $ P (X = 1) = 1/8 $, $ P (X = 2) = 3/8 $ e $ P (X = 3) = 1/2 $. formula sopra, il valore atteso è

$$ E (X) = 1 \ cdot (1/8) + 2 \ cdot (3/8) + 3 \ cd ot (1/2) = 2.375 $$

Consideriamo ora i numeri generati con frequenze esattamente proporzionali alla funzione di massa di probabilità – per esempio, linsieme di numeri $ \ {1,1,2,2,2 , 2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3 \} $ – due $ 1 $ s, sei $ 2 $ se otto $ 3 $ s. Ora prendi la media aritmetica di questi numeri:

$$ \ frac {1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 +3} {16} = 2.375 $$

e puoi vedere che è esattamente uguale al valore atteso.

Commenti

• Non ‘ sarebbe meglio illustrato utilizzando linsieme più semplice di {1,2,2,2,3,3,3,3}? Lespressione che mostra laritmetica la media di quellinsieme è identica allespressione che mostra il valore atteso di quella variabile (se converti i prodotti ponderati in semplici somme).
• Re: ” lespressione che mostra la media aritmetica di quellinsieme è identica allespressione che mostra il valore atteso di quella variabile (se converti i prodotti ponderati in semplici somme) ” – Sì @Dancrumb, quello era il intero punto 🙂

Laspettativa è il valore medio o la media di una variabile casuale non una probabilità come tale è per la distribuzione discreta e variabili casuali la media ponderata dei valori che assume la variabile casuale dove la ponderazione è in base alla frequenza relativa di occorrenza di quei singoli valori. Per una variabile casuale assolutamente continua è lintegrale dei valori x moltiplicato per la densità di probabilità. I dati osservati possono essere visti come i valori di una raccolta di variabili casuali indipendenti distribuite in modo identico. La media campionaria (o aspettativa campionaria) è definita come laspettativa dei dati rispetto alla distribuzione empirica dei dati osservati. Questo lo rende semplicemente la media aritmetica dei dati.

Commenti

• +1. Buona cattura: ” Laspettativa è il valore medio o la media di una variabile casuale, non una distribuzione di probabilità “. Non ‘ non ho notato questo sottile uso improprio della terminologia.

Prestiamo molta attenzione alle definizioni:

La media è definita come la somma di una raccolta di numeri divisa per il numero di numeri nella raccolta. Il calcolo sarebbe “per i in 1 a n, (somma di x sub i) diviso per n. “

Il valore atteso (EV) è il valore medio di lungo periodo delle ripetizioni dellesperimento che rappresenta. Il calcolo sarebbe” per i in 1 an, somma dellevento x sub i volte la sua probabilità (e la somma di tutti i p sub i deve = 1). “

Nel caso di un dado equo, è facile vedere che il media ed EV sono uguali. Media – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 – 3.5 e EV sarebbe:

prob xp * x

0,167 1 0,17

0,167 2 0,33

0,167 3 0,50

0,167 4 0,67

0,167 5 0,83

0,167 6 1,00

EV = sum (p * x) = 3,50

Ma se il dado non fosse “giusto”? Un modo semplice per realizzare un dado ingiusto sarebbe trapanare ah ole nellangolo allintersezione delle facce 4, 5 e 6.Inoltre, diciamo ora che la probabilità di tirare un 4, 5 o 6 sul nostro dado storto nuovo e migliorato è ora .2 e la probabilità di ottenere un 1, 2 o 3 è ora .133. È lo stesso dado con 6 facce, un numero su ogni faccia e la media di questo dado è ancora 3.5. Tuttavia, dopo aver tirato questo dado molte volte, il nostro EV è ora 3,8 perché le probabilità degli eventi non sono più le stesse per tutti gli eventi.

prob xp * x

0,133 1 0,13

0,133 2 0,27

0,133 3 0,40

0.200 4 0,80

0,200 5 1,00

0,200 6 1,20

EV = sum (p * x) = 3,80

Di nuovo, sia attenzione e torna alla definizione prima di concludere che una cosa sarà sempre “uguale” a unaltra. Dai unocchiata a come è impostato un normale dado e fai un buco negli altri 7 angoli e guarda come cambiano i veicoli elettrici: divertiti.

Bob_T

Lunica differenza tra “media” e “valore atteso” è che la media viene utilizzata principalmente per la distribuzione di frequenza e laspettativa viene utilizzata per la distribuzione di probabilità. Nella distribuzione della frequenza, lo spazio campionario è costituito da variabili e dalle loro frequenze di occorrenza. Nella distribuzione di probabilità, lo spazio campionario è costituito da variabili casuali e dalle loro probabilità. Ora sappiamo che la probabilità totale di tutte le variabili nello spazio campionario deve essere = 1. Qui sta la differenza fondamentale. Il termine denominatore per aspettativa è sempre = 1. (cioè Somma f (xi) = 1) Tuttavia nessuna restrizione di questo tipo sulla somma della frequenza (che è fondamentalmente il numero totale di voci).