Perché le formule per le unità di planck ' utilizzano h invece di hbar?

la pagina di reply.com che menzionato utilizza la seguente formula: $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {Gh} {2 \ pi c ^ 3}} $$ Nota che cè il fattore $ 2 \ pi $ nel denominatore, quindi $ h / 2 \ pi $ può essere semplificato come il solito $ \ hbar $. Probabilmente non erano in grado di digitare questo carattere o volevano evitare la terminologia e i simboli noti solo ai fisici. Ma non ci sono errori numerici nella pagina di answer.com. In ogni caso, la definizione sopra è equivalente a $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {G \ hbar} {c ^ 3}} $$ che è la solita lunghezza di Planck “non ridotta”. Vedi Wikipedia per la stessa formula:

http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_length

Numericamente, è $ 1,6 \ volte 10 ^ {- 35} $ metri. (Aggiornamento: lOxford Dictionary of English ha una formula sbagliata: hanno omesso $ 2 \ pi $ e si sono dimenticati di attraversare anche $ h $. Ma chiaramente indicano la stessa lunghezza di Planck.) A volte, le persone usano anche il Planck “ridotto” lunghezza che è più fantasia e “professionale” in un certo senso: $$ L_ {Planck, ridotto} = \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ hbar} {c ^ 3}} $$ Nota che $ 8 \ pi $ nel numeratore può anche essere fusa con $ \ hbar $ per ottenere $ 4h $ indietro – quindi la lunghezza di Planck ridotta è il doppio (a causa della radice quadrata) la lunghezza di Planck sbagliata che si otterrebbe usando $ h $ invece di $ \ hbar $. Ma qual è il vero motivo per cui $ 8 \ pi $ è stato aggiunto lì?

Il motivo per cui $ 8 \ pi G $ appare invece di $ G $ è perché in un certo senso $ 8 \ pi G $ è più naturale una costante di $ G $: questa discussione è analoga al trattamento di $ 4 \ pi $ in elettrodinamica. La costante $ 8 \ pi G $ è naturale perché lazione di Einstein-Hilbert è $$ S_ {EH} = \ int d ^ D x \ frac {1} {16 \ pi G} R \ sqrt {-g} $$ Il il coefficiente più naturale sarebbe $ 1/2 $ invece di $ 1/16 \ pi G $, il che rende naturale impostare $ 8 \ pi G = 1 $. La lunghezza ridotta di Planck è leggermente più lunga (cinque volte circa), meno estremamente piccola. Ancora più spesso, i fisici delle particelle parlano dellenergia di Planck e dellenergia ridotta di Planck che sono vicine rispettivamente a $ 10 ^ {19} $ e $ 10 ^ {18} $ GeV.

La convenzione per la costante $ G $ è stato originariamente scelto da Newton che voleva scrivere la forza gravitazionale come $ GMm / r ^ 2 $. Bene, sarebbe più naturale avere il fattore $ 4 \ pi $ o $ 8 \ pi $ nel denominatore, $ \ Gamma Mm / 8 \ pi r ^ 2 $. Puoi vedere che $ \ Gamma $ è semplicemente $ \ Gamma = 8 \ pi G $, e sarebbe naturale impostare $ \ Gamma $ uguale a uno.

Spero di non averlo per spiegare perché $ \ hbar $ è più naturale di $ h $ per i fisici adulti. Le versioni “laici” delle formule possono essere più semplici con $ h $ – ma trattano della lunghezza donda ecc. I fisici adulti sanno che la lunghezza donda del seno è proporzionale a $ 2 \ pi $. E le equazioni fondamentali, come lequazione di Schrödinger o i commutatori di $ [x, p] $, assumono una forma più semplice in termini di $ \ hbar $ rispetto a $ h $, di corso.

Tornando a $ G $: le persone dovevano scegliere la convenzione su come normalizzare $ G $ in dimensioni superiori. La convenzione usuale, come implicitamente usata sopra, è che lazione di Einstein-Hilbert ha sempre il coefficiente $ 1/16 \ pi G $. Ciò implica che nelle dimensioni $ D $ spazio-tempo, la forza non sarà $ GMm / r ^ {D-2} $ ma avrà alcuni coefficienti numerici dipendenti da $ D $.

Migliore auguri Lubos

Commenti

• Grazie mille Lubos! Capisco che dovrebbe esserci il Planck ridotto ' s costante in un modo o nellaltro (con hbar o con h oltre 2 pi).Tuttavia, vedo una discrepanza tra lequazione di Wikipedia ' e lequazione di Oxford dict ', come io ' ho aggiornato la domanda da visualizzare.
• Grazie per laggiornamento, nome utente sbagliato. LOxford Dictionary ha un errore: si sono dimenticati di tagliare $ h $, a causa di caratteri insufficienti o di scrittori incompetenti haha.