Qual è la differenza tra ritardo di fase e ritardo di gruppo?

Prima di tutto le definizioni sono diverse:

• Ritardo di fase: (il negativo di) Fase diviso per frequenza
• Ritardo di gruppo: (il negativo di) Derivata prima di fase vs frequenza

In parole che significa:

• Ritardo di fase: angolo di fase a questo punto della frequenza
• Ritardo di gruppo: velocità di variazione della fase attorno a questo punto della frequenza.

Quando usare luno o laltro dipende davvero dalla tua applicazione. La classica applicazione per il ritardo di gruppo è costituita dalle onde sinusoidali modulate, ad esempio la radio AM. Il tempo impiegato dal segnale di modulazione per attraversare il sistema è dato dal ritardo di gruppo e non dal ritardo di fase. Un altro esempio audio potrebbe essere una grancassa: si tratta principalmente di unonda sinusoidale modulata, quindi se si desidera determinare di quanto la cassa verrà ritardata (e potenzialmente macchiata nel tempo), il ritardo del gruppo è il modo di vederla.

Commenti

• ” Fase assoluta a questo punto della frequenza ” Non ‘ sarebbe semplicemente chiamato ” phase “?
• Intendevo ” assoluto ” rispetto a ” relativo “, ma vedo che questo può essere confuso con ” valore assoluto “. ‘ lo modifico
• unultima importante differenza: il ritardo di fase ad una certa frequenza $ f $ è il ritardo di tempo del fase del segnale quasi sinusoidale di frequenza $ f $ passato attraverso il filtro. il ritardo del gruppo è il ritardo della busta o del ” gruppo ” della quasi sinusoide.

Non misurano entrambi quanto viene ritardata una sinusoide. Il ritardo di fase misura esattamente questo. Il ritardo di gruppo è un po più complicato. Immagina unonda sinusoidale corta con un inviluppo di ampiezza applicato in modo che si dissolva in entrata e in uscita, diciamo, una gaussiana moltiplicata per una sinusoide . Questo inviluppo ha una forma e, in particolare, ha un picco che rappresenta il centro di quel “pacchetto”. Il ritardo di gruppo ti dice di quanto verrà ritardato quellinviluppo di ampiezza, in particolare, quanto il picco di quel pacchetto si sposterà.

Mi piace pensare a questo tornando alla definizione di ritardo di gruppo: è la derivata della fase. La derivata fornisce una linearizzazione della risposta di fase in quel punto. In altre parole, a una certa frequenza, il ritardo di gruppo ti dice approssimativamente come la risposta di fase delle frequenze vicine si relaziona alla risposta di fase in quel punto. Ora, ricorda come stiamo usando una sinusoide modulata in ampiezza. La modulazione in ampiezza prenderà il picco della sinusoide e introdurrà bande laterali alle frequenze vicine. Quindi, in un certo senso, il ritardo di gruppo ti fornisce informazioni su come le bande laterali verranno ritardate rispetto a quella frequenza portante, e lapplicazione di quel ritardo cambierà in qualche modo la forma dellinviluppo di ampiezza.

cosa pazza? I filtri causali possono avere un ritardo di gruppo negativo!Prendi la tua gaussiana moltiplicata per una sinusoide: puoi costruire un circuito analogico in modo tale che quando invii quel segnale, il picco dellinviluppo apparirà nelloutput prima dellingresso. Sembra un paradosso, poiché sembrerebbe che il filtro deve “vedere” nel futuro. È decisamente strano, ma un modo per pensarci è che, poiché linvolucro ha una forma molto prevedibile, il filtro ha già abbastanza informazioni per anticipare ciò che accadrà. Se un picco fosse inserito nel mezzo del segnale, il filtro non lo anticiperebbe. Ecco “un articolo davvero interessante su questo: http://www.dsprelated.com/showarticle/54.php

Commenti

• Quando dici ” immagine a … “, unimmagine reale sarebbe davvero utile qui.

Per coloro che ancora non sanno scrivere la differenza, ecco un semplice esempio

Prendi una linea di trasmissione lunga con un semplice segnale quasi sinusoidale con un inviluppo di ampiezza, $ a (t) $ , al suo ingresso

$$ x (t) = a (t) \ cdot \ sin (\ omega t) $$

Se misuri questo segnale alla trasmissione fine riga, $ y (t) $ , potrebbe arrivare da qualche parte come questo:

$$ \ begin {align} y (t) & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin (\ omega t + \ phi) \\ & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin \ big (\ omega (t – \ tau_ \ ph i) \ big) \\ \ end {align} $$

dove $ \ phi $ è la differenza di fase dallinput a output.

Se vuoi quanto tempo impiega la fase della sinusoide, $ \ sin (\ omega t) $ trasmissione dallinput alloutput quindi $ \ tau_ \ phi = – \ tfrac {\ phi} {\ omega} $ è la tua risposta in pochi secondi.

Se vuoi quanto tempo impiega la busta , $ a (t) $ , della trasmissione sinusoidale dallinput alloutput quindi $ \ tau_g = – \ tfrac {d \, \ phi} {d \, \ omega} $ è la tua risposta in pochi secondi.

Il ritardo di fase è solo il tempo di viaggio per una singola frequenza mentre il ritardo di gruppo è la misura della distorsione di ampiezza se viene applicata una matrice di più frequenze.

So che questa è una bella vecchia domanda, ma ho cercato una derivazione delle espressioni per ritardo di gruppo e ritardo di fase su Internet. Non esistono molte derivazioni di questo tipo in rete, quindi ho pensato di condividere ciò che ho trovato. Inoltre, nota che questa risposta è più una descrizione matematica che intuitiva. Per descrizioni intuitive, fai riferimento alle risposte precedenti. Quindi, qui va:

Consideriamo un segnale

$$ x (t) = a (t) \ cos (\ omega_0 t) $$

e trasmettilo a un LTI sistema con risposta in frequenza

$$ H (j \ omega) = e ^ {j \ phi (\ omega)} $$

Abbiamo considerato il guadagno del sistema come unità perché ci interessa analizzare come il sistema altera la fase del segnale in ingresso, piuttosto che il guadagno. Ora, dato che la moltiplicazione nel dominio del tempo corrisponde alla convoluzione nel dominio della frequenza, la trasformata di Fourier del segnale in ingresso è data da

$$ X (j \ omega) = {1 \ over 2 \ pi} A (j \ omega) \ cdot \ big (\ pi \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ pi \ delta (\ omega + \ omega_0) \ big) $$

che equivale a

$$ X (j \ omega) = {A (j (\ omega- \ omega_0)) + A (j (\ omega + \ omega_0)) \ over 2} $$

Pertanto, loutput del sistema ha uno spettro di frequenze dato da

$$ B (j \ omega) = {e ^ {j \ phi (\ omega)} \ over 2} \ big (A (j (\ omega- \ omega_0)) + A ( j (\ omega + \ omega_0)) \ big) $$

Ora, per trovare la trasformata di Fourier inversa dellespressione sopra, dobbiamo conoscere la forma analitica esatta per $ \ phi (\ omega) $ . Quindi, per semplificare le cose, assumiamo che il contenuto di frequenza di $ a (t) $ includa solo quelle frequenze che sono significativamente inferiori alla frequenza portante $ \ omega_0 $ . In questo scenario, il segnale $ x (t) $ può essere visto come un segnale modulato in ampiezza, dove $ a (t ) $ rappresenta linviluppo del segnale coseno ad alta frequenza. Nel dominio della frequenza, $ B (j \ omega) $ ora contiene due strette bande di frequenze centrate su $ \ omega_0 $ e $ – \ omega_0 $ (fare riferimento allequazione precedente).Ciò significa che possiamo utilizzare unespansione della serie Taylor del primo ordine per $ \ phi (\ omega) $ .

$$ \ begin {align} \ phi (\ omega) & = \ phi (\ omega_0) + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) (\ omega – \ omega_0) \\ & = \ alpha + \ beta \ omega \\ \ end {align} $$

dove $$ \ begin {align} \ alpha & = \ phi (\ omega_0) – \ omega_0 \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ beta & = \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ end {align} $ $

Inserendolo, possiamo calcolare la trasformata di Fourier inversa della prima metà di $ B (j \ omega) $ come

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} A (j (\ omega – \ omega_0)) e ^ {j (\ omega t + \ alpha + \ beta \ omega)} d \ omega $$

Sostituendo $ \ omega – \ omega_0 $ per $ \ omega “$ , questo diventa

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} X (j (\ omega “)) e ^ {j ((\ omega” + \ omega_0) (t + \ beta) + \ alpha)} d \ omega “$$

che semplifica in

$$ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ omega_0 \ beta + \ alpha)}} {2} $$

Inserendo le espressioni per $ \ alpha $ e $ \ beta $ , questo diventa

$ $ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

Allo stesso modo laltra metà di la trasformata di Fourier inversa di $ B (j \ omega) $ può essere ottenuta sostituendo $ \ omega_0 $ di $ – \ omega_0 $ . Notando che per segnali reali, $ \ phi (\ omega) $ è una funzione strana, questa diventa

$$ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {- j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

Quindi , sommando i due insieme, otteniamo $$ b (t) = x (t + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0)) \ cos (\ omega_0 (t + \ tfrac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0})) $$

Nota i ritardi nella busta $ a (t) $ e il segnale del coseno della portante. Ritardo di gruppo $ (\ tau_g) $ corrisponde al ritardo nellinviluppo durante il ritardo di fase $ (\ tau_p) $ corrisponde al ritardo nel vettore. Quindi,

$$ \ tau_g = – \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) $$ $$ \ tau_p = – \ frac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0} $$

Il ritardo di fase di qualsiasi filtro è la quantità di ritardo che ogni componente di frequenza subisce nel passare attraverso i filtri (se un segnale è composto da più frequenze.)

Il gruppo il ritardo è il ritardo di tempo medio del segnale composito subito a ogni componente della frequenza.