Il segnale del passo unitario definito come
$$ u [n] = \ lbrace 1; n > = 0; \\ \ qquad0; n < 0 \ rbrace $$
ha tre possibili soluzioni per la sua rappresentazione del dominio di Fourier a seconda del tipo di approccio. Questi sono i seguenti –
- Lapproccio ampiamente seguito (Oppenheim Textbook) – calcolare la trasformata di Fourier della funzione di passo unitario dalla trasformata di Fourier della funzione segno.
$$ F (u [n]) = U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {j \ omega} $$
- Trasformata di Fourier calcolata dalla trasformata Z della funzione del passo unitario (fare riferimento al libro di testo di Proakis, Algoritmi e applicazioni per lelaborazione del segnale digitale , pagine 267,268 sezione 4.2.8)
$$ U (j \ omega) = \ frac {e ^ {\ frac {j \ omega} {2}}} {2j \ sin \ frac {\ omega} {2}}; \ omega \ neq 2 \ pi k; k = 0,1,2,3 … $$
- Trasformata di Fourier calcolata dividendo in funzioni pari e dispari – seguita in Proakis Textbook (Refer Proakis Textbook, Algoritmi e applicazioni per lelaborazione del segnale digitale , pagina 618 sezione 8.1) $$ U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} $$
La seconda rappresentazione può essere ignorata poiché non è una funzione ben comportata . Ma gli approcci seguiti da Proakis e Oppenheim sono ugualmente validi (estendono la trasformata di Fourier per includere gli impulsi nel dominio della frequenza) Ma la confusione è che forniscono soluzioni diverse.
Cè qualche errore nella mia comprensione? o mi manca qualche punto cruciale ?? Gentilmente aiutami a capire questo e il modulo corretto che può essere utilizzato in tutte le applicazioni. (Ho scoperto che lapproccio di Oppenheim viene utilizzato nel derivare le relazioni di Kramers-Kronig e lapproccio di Proakis utilizzato nella derivazione della trasformata di Hilbert)
Risposta
Nota che la prima espressione è la trasformata di Fourier del passo unitario continuo $ u (t) $, quindi non è applicabile alla sequenza di passi a tempo discreto $ u [ n] $. Inoltre, la seconda e la terza espressione sono entrambe corrette e sono identiche se si tiene conto che la seconda espressione non rivendica validità a multipli interi di $ 2 \ pi $.
Se tralasciamo le frequenze angolari a multipli di $ 2 \ pi $, la terza espressione diventa
$$ U (j \ omega) = \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} = \ frac {1} {e ^ {- j \ omega / 2} (e ^ {j \ omega / 2} -e ^ {- j \ omega / 2})} = \ frac {e ^ {j \ omega / 2}} {2j \ sin (\ omega / 2)}, \ quad \ omega \ neq 2k \ pi $$
che è identico alla seconda espressione.
Commenti
- Grazie mille! Sì, il secondo e il terzo sono equivalenti ma nella terza hanno composizione includendo limpulso ai poli. Grazie per il chiarimento
Risposta
Come ha detto Matt, la seconda e la terza definizione sono le stesse tranne che per la parte con impulso. Limpulso ( $ \ pi \ delta (\ omega) $ ) tiene conto del valore DC di $ u [n] $ . Senza quel termine (cioè, la seconda definizione) è in realtà il FT di $ v [n] = \ frac {1} {2} \ operatorname {sgn} [n] $ . Abbiamo $ u [n] = v [n] + \ frac {1} {2} $ . E quindi il FT di $ u [n] $ ha il termine aggiuntivo per tenere conto dellaggiunta di $ \ frac {1 } {2} $ . Inoltre, il tempo discreto FT (o DTFT) di $ u [n] $ è scritto correttamente come $ U (e ^ {j \ omega}) $ .
La prima definizione, $ U (j \ omega) $ è il “tempo continuo “FT (o CTFT) di $ u (t) $ (non $ u [n] $ ) e quindi diverso dalle altre due definizioni.