Finora nella nostra lezione abbiamo definito gli operatori di creazione $ a ^ {\ dagger} _ {n} $ nel nel modo seguente, che abbiamo detto:
Qualcuno ti ha procurato uno stato particella N antisimmetrico o simmetrico e ora $ a ^ {\ dagger} _ {n} $ mette unaltra particella nello stato n, così che finiamo in su con uno stato simmetrico / antisimmetrico delle particelle N + 1. Questa interpretazione mi è in qualche modo chiara nel senso che questi $ a ^ {\ dagger}, a $ operatori evitano gli ingombranti determinanti slater e così via. Nonostante, abbiamo ancora a che fare con stati di prodotto simmetrici / antisimmetrici ben definiti che vengono estesi o ridotti di uno stato, che sono nascosti dietro questa notazione.
Ora, abbiamo anche definito operatori di campo in QM per $ \ psi ^ {\ dagger} (r) = \ sum_ {i; \ text {all states}} \ psi_i ^ * (r) a_i ^ {\ dagger}. $ Abbiamo detto che creano una particella nella posizione $ r $ . In qualche modo, non mi è chiaro cosa significhi:
Creare una particella in una posizione esatta $ r_0 $ in QM significherebbe che ora abbiamo uno stato aggiuntivo $ \ psi_i (r) = \ delta (r-r_0) $ nel nostro determinante slater. Dubito che questa sia lidea alla base di tutto ciò. Ma, poiché gli operatori $ a_i ^ {\ dagger} $ agiscono sullo stato delle particelle $ N $ e mappano agli stati delle particelle $ N + 1 $, lo stesso deve essere vero per $ \ psi ^ {\ dagger} (r) $ . Tuttavia, ho difficoltà a interpretare il risultato.
Se qualcosa non è chiaro, fatemelo sapere.
Risposta
$ \ psi_i $ nella tua somma non devono essere necessariamente funzioni delta. Puoi pensare ad esempio come se fossero autofunzioni energetiche $$ \ mathcal {H} \ psi_i (r) = E_i \ psi_i (r) $$ quindi creare una particella a $ r $ significa che ottieni una sovrapposizione di tutti i modi possibili una particella può essere a $ r $ (in questa particolare scelta di base): $$ \ underbrace {\ psi ^ \ dagger (r)} _ {\ text {operator}} | 0 \ rangle = \ sum_i \ overbrace {\ psi_i ^ * (r)} ^ {\ text {complex numbers}} | i \ rangle $$ dove $ | 0 \ rangle $ è lo stato del vuoto (o lo stato fondamentale se lo si desidera) e $ | i \ rangle $ è lo stato Fock con una particella in modalità n-esima. Puoi pensare a questa equazione come a indicare che per ogni $ i $, $ \ psi_i ^ * (r) $ è lampiezza di probabilità di trovare la particella nella posizione $ r $ se sai che è nello stato $ i $.
Commenti
- Linterpretazione della creazione di una sovrapposizione di tutti i possibili modi in cui una particella può arrivare alla posizione $ r $ mi sembra significativa. Voglio dire, quello che facciamo è, se ho capito bene, creare una particella in qualsiasi autostato e cercare lampiezza di probabilità che questa particella si trovi nella posizione $ r $. Quello che ' non vedo è come questa nozione sia correlata alla creazione effettiva di una particella nella posizione $ r $. Se ci pensi, queste sono due cose diverse. Potresti provare a spiegare cosa vogliamo modellare con questo operatore di campo?
- Dipende davvero dal contesto. Linterpretazione della " particella " non è sempre adatta, più in generale puoi pensare a questi operatori come alla creazione / annullamento degli stati quantistici. Nel contesto della QFT questi stati sono in effetti (di solito) gli stati delle particelle e $ | 0 \ rangle $ lo stato senza particelle, e quindi la terminologia. Ma ad esempio in NRQM questo spesso non è vero e lo " stato del vuoto " è in questo caso solo lo stato fondamentale del sistema . Loro " creano " / " distruggono " afferma nel senso che inviano un dato spazio Fock in un altro con uno stato aggiuntivo / inferiore di quel particolare tipo.
Risposta
Consideralo un cambiamento di base. $ a_i ^ \ dagger $ crea una particella nello stato $ | i \ rangle $. Ora, questo stato $ | i \ rangle $ può essere scritto in termini di stati di posizione $ | r \ rangle $ come $$ | i \ rangle = \ int dr \, \ psi_i (r) | r \ rangle, $$ quindi creare una particella in questo stato equivale a creare una particella in una sovrapposizione di stato di posizione con il peso appropriato $ \ psi_i (r) $. In modo equivalente, una particella localizzata in $ | r \ rangle $ può essere descritta come in una sovrapposizione di stato $$ | r \ rangle = \ sum_i \ psi_i ^ * (r) | i \ rangle, $$ e quindi crea una particella nello stato $ | r \ rangle $, loperatore $ \ psi ^ \ dagger (r) $ è definito dalloperatore $ \ sum_i \ psi_i ^ * (r) \, a_i ^ \ dagger $.
Commenti
- scusa, ma questa risposta è molto confusa. sembri sommare le posizioni. Nota, quella posizione non è discreta! Pertanto, ho gravi problemi a capire i tuoi $ | r \ rangle $ '.
- @TobiasHurth: that ' s solo notazioni (pensa a una versione discretizzata dello spazio). Ma sono passato a integrale, se questo ti fa sentire meglio.