Questa è una risposta poco accurata, ma semplice,

Ti permette di calcolare solo la configurazione di allineamento radiale dei pianeti.

Se desideri unapprossimazione, diciamo, approssimerai la posizione dei pianeti come lancette di un orologio, potresti elaborare i calcoli con qualcosa del genere.

Supponiamo che $ \ theta_i $ sia langolo iniziale del pianeta $ i $ al tempo $ t_0 $, misurato da un arbitrario ma fisso posizione e $ l_i $ è la lunghezza dellanno, in giorni, per il pianeta $ i $.

Quindi riprende a risolvere questo sistema di equazioni:

$$ x \ equiv \ theta_i \ left (\ mod \ l_i \ right) $$

Da qui dovresti semplicemente applicare il Teorema cinese del resto .

Trovare il minimo x, ti darà langolo con cui il pianeta che a $ t_0 $ aveva un angolo $ \ theta_i = 0 $ avrebbe viaggiato fino a quando non fosse stata raggiunta una configurazione di allineamento . UN supponendo che tu scelga la Terra come pianeta menzionato, quindi dividi quellangolo per una rivoluzione completa ($ 360 ^ {o} $) e otterrai il numero di anni per raggiungere quella configurazione – dalla configurazione $ t_0 $.

I diversi $ \ theta_i $ in gradi per tutti i pianeti il 1 ° gennaio 2014: puoi usarli come $ t_0 $:

\ begin {align} Mercury & \ quad 285.55 \\ Venus & \ quad 94.13 \\ Earth & \ quad 100.46 \\ Mars & \ quad 155.60 \\ Jupiter & \ quad 104.92 \\ Saturn & \ quad 226.71 \ \ Uranus & \ quad 11.93 \\ Neptune & \ quad 334.90 \ end {align}

Fonte

I diversi $ l_i $ in giorni per tutti i pianeti:

\ begin {align} Mercury & \ quad 88 \\ Venus & \ quad 224.7 \\ Earth & \ quad 365.26 \\ Mars & \ quad 687 \\ Jupiter & \ quad 4332.6 \\ Saturn & \ quad 10759.2 \\ Uranus & \ quad 30685.4 \\ Neptune & \ quad 60189 \ end {align}

Infine con valori interi approssimativi e utilizzando questo risolutore online per il sistema di equazioni la risposta è $ x = 4,0384877779832565 \ times 10 ^ {26} $ che diviso per $ 360 ^ {o} $ ti dà circa $$ 1,1218 \ volte 10 ^ {24} \ quad \ text { anni} $$

Modifica 1

Ho appena trovato questo sito con cui potresti divertirti. È unapplicazione flash interattiva con la posizione precisa dei pianeti.

So anche che tutte le informazioni possono essere ottenute da questa pagina della NASA e questo è il più accurato possibile, ma ora è incomprensibile per me. Cercherò di rivederlo più tardi quando avrò tempo.

Inoltre questo libro di Jean Meeus chiamato Astronomical Algorithms copre tutte le euqazioni e le formule fondamentali, ma non ha nulla a che fare con gli algoritmi di programmazione.

Modifica 2

Vedere che sei un programmatore, potrebbe valere la pena dare unocchiata al sito della NASA che ho menzionato sopra, i dati di tutti i pianeti possono essere visualizzati anche tramite $ \ tt {telnet} $.Oppure questo sito Sourceforge dove hanno implementazioni per molte delle equazioni descritte nel libro anche menzionato sopra.

Commenti

• $ x \ equiv \ theta_i (\ mod l_i) $ funziona allo stesso modo nei commenti. Penso che il tuo approccio sia il migliore che puoi fare senza eccessive simulazioni. Tutto quello che devi fare è inserire i dati effettivi; questa è stata la parte che mi ha fatto esitare a fornire una risposta.
• @Gerald oh pensavo che il markup delle equazioni non ‘ funzionasse nei commenti. Sì, ‘ mi mancano i dati, in particolare $ \ theta_i $. Aggiungerò le diverse informazioni $ l_i $.
• Come può quelloscilloscopio solare mostrare le posizioni relative precise dei pianeti, quando le loro distanze dal Sole non sono corrette? Potrebbe mostrare correttamente la posizione di ogni pianeta rispetto al Sole in isolamento e quindi essere utile per questa domanda, ma non per trovare le congiunzioni.
• @LocalFluff Questo è vero. Questo fornisce solo la risposta alle configurazioni di allineamento radiale . Modificato.
• Ci sono diversi errori in questa risposta. Innanzitutto, utilizzando tutte le cifre nelle tabelle (il che implica la conversione in centidgrees e centidays) in realtà ottengo $ x \ approx1.698 \ times10 ^ {42} $ (dallo stesso strumento online), che equivale a $ 1,29 \ times10 ^ {33 } $ yr. Non ‘ non so come hai ottenuto il valore più basso, ma sospetto fortemente che tu abbia omesso alcune cifre. In secondo luogo, questo mostra che quando si aggiungono più cifre la soluzione tende allinfinito: la risposta corretta è: lallineamento radiale non si verifica mai . Infine, supporre che le orbite dei pianeti ‘ stiano seguendo questo semplice movimento è semplicemente sbagliato .

La risposta corretta è “ mai “, per diversi motivi. Primo , come indicato nel commento di Florin, le orbite del pianeta non sono complanari e quindi non possono essere allineate , anche se ogni pianeta potesse essere posizionato arbitrariamente nel suo piano orbitale. Secondo , anche il puro allineamento radiale non si verifica mai perché i periodi del pianeta sono incommensurabili – i loro i rapporti non sono numeri razionali. Infine , le orbite dei pianeti si evolvono su scale temporali di milioni di anni, principalmente a causa della loro reciproca gravità Tirare. Questa evoluzione è (debolmente) caotica e quindi imprevedibile per tempi molto lunghi.

La risposta sbagliata di harogaston essenzialmente approssima i periodi orbitali del numeri commensurabili più vicini, che producono un tempo molto lungo (anche se ha sbagliato di un fattore di appena $ 10 ^ {16} $).

Una domanda molto più interessante (e forse quella a cui eri realmente interessato ) indica la frequenza con cui gli 8 pianeti si allineano quasi radialmente . Qui, “ quasi ” potrebbe semplicemente significare “ entro $ 10 ^ \ circ $ visto dal Sole “. In tale occasione, la reciproca attrazione gravitazionale dei pianeti si allineerà e quindi si tradurrà in cambiamenti orbitali più forti della media.

Qualsiasi stima del periodo comune di più di due pianeti (cioè, dopo quanto tempo si allineano di nuovo approssimativamente in longitudine eliocentrica?) dipende molto da quanta deviazione dallallineamento perfetto è accettabile.

Se il periodo del pianeta $ i $ è $ P_i $ e se la deviazione nel tempo accettabile è $ b $ (nelle stesse unità di $ P_i $), allora il periodo combinato $ P $ di tutti i $ n $ pianeti sono approssimativamente $$ P \ approx \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$ quindi ridurre la deviazione accettabile di un fattore 10 significa aumentare il periodo comune di un fattore $ 10 ^ {n-1} $, che per 8 pianeti è un fattore di 10.000.000. Quindi, non ha senso citare un punto comune se non si specifica anche la quantità di deviazione accettabile. Quando la deviazione accettabile scende a 0 (per ottenere un “allineamento perfetto”), il periodo comune aumenta fino a infinito. Ciò corrisponde a diversi commentatori “affermano che non esiste un periodo comune perché i periodi non sono commisurati.

Per i pianeti” periodi elencati da harogaston, $ \ prod_i P_i \ approx 1.35 \ times10 ^ 6 $ quando $ P_i $ sono misurati in anni giuliani di 365,25 giorni ciascuno, quindi il periodo comune in anni è approssimativamente $$ P \ approx \ frac {1,35 \ times10 ^ 6} {b ^ 7} $$ se $ b $ viene misurato anche in anni. Se i periodi sono approssimati al giorno più vicino, allora $ b \ circa 0,00274 $ anni e $ P \ circa 1,2 \ volte10 ^ {24} $ anni. Se i periodi sono approssimati al giorno più vicino 0,01, allora $ b \ circa 2,74 \ times10 ^ {- 5} $ e $ P \ approx 1.2 \ times10 ^ {38} $ anni.

La derivazione della formula sopra è la seguente:

Approssimare i periodi dei pianeti per multipli di ununità base $ b $: $ P_i \ approx p_i b $ dove $ p_i $ è un numero intero. Quindi il periodo comune è al massimo uguale al prodotto di tutti i $ p_i $. Quel prodotto è ancora misurato in unità di $ b $; dobbiamo moltiplicare per $ b $ per tornare alle unità originali. Quindi , il periodo comune è di circa $$ P \ approx b \ prod_i p_i \ approx b \ prod_i \ frac {P_i} {b} = b \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ n} = \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$

La derivazione precedente non tiene conto del fatto che $ p_i $ potrebbe avere fattori comuni in modo che lallineamento avvenga prima di quanto $ \ prod_i p_i $ suggerisce. Tuttavia, se due $ p_i $ hanno o meno fattori comuni dipende fortemente dal periodo di base scelto $ b $, quindi è effettivamente una variabile casuale e non influisce sulla dipendenza globale di $ P $ da $ b $.

Se esprimi la deviazione accettabile in termini di angolo anziché tempo , mi aspetto che otterrai risposte che dipendono dalla dimensione della deviazione accettabile fortemente come per la formula precedente.

Vedi http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html per un grafico di $ P $ in funzione di $ b $ per tutti i pianeti compreso Plutone.

MODIFICA:

Ecco una stima con deviazione accettabile in termini di angolo . Vogliamo che tutti i pianeti si trovino entro un intervallo di longitudine di larghezza $ δ $ centrata sulla longitudine del primo pianeta; la longitudine di il primo pianeta è libero. Partiamo dal presupposto che tutti i pianeti si muovano nella stessa direzione in orbite circolari complanari attorno al Sole.

Perché i pianeti ” i periodi non sono commisurati, tutte le combinazioni di longitudini dei pianeti si verificano con la stessa probabilità. La probabilità $ q_i $ che in un momento specifico di tempo la longitudine del pianeta $ i > 1 $ sia allinterno del segmento di larghezza $ δ $ centrato sulla longitudine del pianeta 1 è uguale a $$ q_i = \ frac {δ} {360 °} $$

La probabilità $ q $ che i pianeti da 2 a $ n $ si trovino tutti allinterno dello stesso segmento di longitudine centrato sul pianeta 1 è quindi $ $ q = \ prod_ {i = 2} ^ n q_i = \ left (\ frac {δ} {360 °} \ right) ^ {n-1} $$

Per tradurre tale probabilità in un periodo medio, dobbiamo stimare per quanto tempo tutti i pianeti sono allineati (entro $ δ $) ogni volta che sono tutti allineati.

I primi due pianeti che perdono il loro allineamento reciproco sono i più veloci e i più lenti dei pianeti. Se il loro periodo sinodico è $ P _ * $, allora saranno allineati per un intervallo $$ A = P_ * \ frac {δ} {360 °} $$ e poi fuori allineamento per un po di tempo prima di essere nuovamente allineati Quindi, ogni allineamento di tutti i pianeti dura circa un intervallo $ A $, e tutti questi allineamenti insieme coprono una frazione $ q $ di tutti i tempi. Se il periodo medio dopo il quale si verifica un altro allineamento di tutti i pianeti è $ P $, allora dobbiamo avere $ qP = A $, quindi $$ P = \ frac {A} {q} = P_ * \ left (\ frac {360 °} {δ} \ right) ^ {n-2} $$

Se ci sono solo due pianeti, allora $ P = P _ * $ indipendentemente da $ δ $, che è come previsto.

Se ci sono molti pianeti, il pianeta più veloce è molto più veloce del più lento, quindi $ P _ * $ è quasi uguale al periodo orbitale del pianeta più veloce.

Anche qui, la stima del tempo medio tra allineamenti successivi è molto sensibile al limite di deviazione scelto (se ci sono più di due pianeti coinvolti), quindi non ha senso citare un tale periodo combinato se non si menziona anche quale deviazione era consentita.

È anche importante ricordare che (se ci sono più di due pianeti) questi allineamenti (quasi) di tutti non si verificano regolarmente intervalli.

Ora inseriamo alcuni numeri. Se vuoi che tutti gli 8 pianeti siano allineati entro 1 grado di longitudine, il tempo medio tra due di tali allineamenti è approssimativamente uguale a $ P = 360 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ {15} $ orbite del pianeta più veloce. Per il Sistema Solare, Mercurio è il pianeta più veloce, con un periodo di circa 0,241 anni, quindi il tempo medio tra due allineamenti di tutti gli 8 pianeti entro 1 grado di longitudine è di circa $ 5 × 10 ^ {14} $ anni.

Se sei già soddisfatto di un allineamento entro 10 gradi di longitudine, il periodo medio tra due di tali allineamenti è approssimativamente uguale a $ P = 36 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ 9 $ orbite di Mercurio, che è di circa 500 milioni di anni.

Qual è il miglior allineamento che possiamo aspettarci durante i prossimi 1000 anni? 1000 anni sono circa 4150 orbite di Mercurio, quindi $ (360 ° / δ) ^ 6 \ circa 4150 $, quindi $ δ \ circa 90 ° $. In un intervallo di 1000 anni scelto a caso, cè in media un allineamento di tutti gli 8 pianeti entro un segmento di 90 °.

Esiste un modo molto più semplice per farlo.

1) Controlla la durata dellanno solare in giorni terrestri

2) Moltiplica la lunghezza degli anni in questo modo: Anno di Mercurio * Anno di Venere * Anno della Terra * Anno di Marte * Anno gioviano * anno Saturno * anno Urano * anno Nettuno

3) Dividi per 365 per ottenere gli anni terrestri.

E hai un momento in cui si allineeranno di nuovo longitudinalmente (ovvero gli angoli saranno diversi ma da una vista dallalto formerebbero una linea). Non si allinea a una frequenza più alta perché alcuni di questi pianeti hanno un numero decimale di giorni terrestri nel loro anno.

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• 4) Renditi conto che il numero che hai ottenuto è molto maggiore del ora di Lyapunov del sistema solare, ed è quindi privo di significato.

Tecnicamente il vero modo per trovare il periodo tra lallineamento di tutti gli 8 pianeti è trovare lMCM di tutte le 8 durate dellanno.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Capisco che questa è una stima approssimativa poiché questi sono arrotondati allintero più vicino, ma dà una buona idea del numero di giorni necessari.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. Quanti anni.

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• Sembra essere lo stesso metodo descritto in Caters ‘ s answe r .