In questa risposta, Jim Clay scrive:
… usa il fatto che $ \ mathcal F \ {\ cos (x) \} = \ frac {\ delta (w – 1) + \ delta (w + 1)} {2} $ …
Lespressione sopra non è troppo diversa da $ \ mathcal F \ {{ \ cos (2 \ pi f_0t) \} = \ frac {1} {2} (\ delta (f-f_0) + \ delta (f + f_0))} $.
Ho provato per ottenere la successiva espressione utilizzando la definizione standard della trasformata di Fourier $ X (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt $ ma tutti Finisco con unespressione così diversa da quella che apparentemente è la risposta.
Ecco il mio lavoro:
\ begin {align} x (t) & = \ cos (2 \ pi f_0t) \\ \ Longrightarrow \ mathcal F \ left \ {x (t) \ right \} & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ cos (2 \ pi f_0t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac 12 \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} + e ^ {j 2 \ pi f_0t} \ right) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ { + \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} + e ^ {j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} \ right) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t \ left (f_0 + f \ right)} + e ^ {- j2 \ pi t \ left (f-f_0 \ right)} \ right) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f_0 + f)} \ right) dt + \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f-f_0)} \ right) \ right) dt \ end {align}
Qui è dove sono bloccato.
Risposta
Il tuo lavoro è OK tranne per il problema che la trasformata di Fourier di $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ non esiste nel senso usuale di una funzione di $ f $, e dobbiamo estendere la nozione per includere quelle che vengono chiamate distribuzioni, o impulsi, o delta di Dirac, o (come noi ingegneri siamo soliti fare, molto per il disgusto dei matematici) delta funzioni. Leggi le condizioni che devono essere soddisfatte affinché la trasformata di Fourier $ X (f) $ del segnale $ x (t) $ esiste (nel senso usuale) e vedrai che $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ non ha una trasformata di Fourier nel senso usuale.
Passando alla tua domanda specifica, una volta compreso che gli impulsi sono definiti solo in termini di come si comportano come integrandi in un integrale, cioè per $ a < x_0 < b $, $$ \ int_ {a} ^ {b} \ delta (x-x_0) g (x) \, \ mathrm dx = g ( x_0) $$ ammesso che $ g (x) $ sia continuo a $ x_0 $, allora è più facile dedurre la trasformata di Fourier di $$ \ cos (2 \ pi f_0 t) = \ left . \ left. \ frac {1} {2} \ right [e ^ {j2 \ pi f_0 t} + e ^ {- j2 \ pi f_0 t} \ right] $$ riflettendo sul fatto che $$ \ int_ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (f-f_0) e ^ {j2 \ pi ft} \, \ mathrm df = e ^ {j2 \ pi f_0t} $$ e quindi deve essere $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ è la trasformata di Fourier inversa di $ \ displaystyle \ left. \ left. \ frac {1} {2} \ right [\ delta (f-f_0) + \ delta ( f + f_0) \ right] $.
Risposta
Quindi basta usare una tabella di coppie di trasformate di Fourier per vedere che $ \ delta (t) \ leftrightarrow 1 $ e la sostituzione delle variabili ($ f_1 = f + f_0 $ e $ f_2 = f-f_0 $), per ottenere ciò di cui hai bisogno.
Commenti
- Il che ovviamente pone la domanda su come la persona che annotato la tabella ha trovato la risposta che è nella tabella.
- @DilipSarwate 🙂 Ora ' stai facendo una domanda molto, molto più difficile. 🙂
- Vedi la mia risposta per una versione della risposta alla domanda molto più difficile che potrebbe passare adunata su questo stackexchange se non su math.SE!
- @DilipSarwate: tu ' ho già ricevuto il mio +1. Grazie, bella risposta. Concordato la matematica. I tizi di E. sarebbero atterriti. Va bene, ' siamo ingegneri. 🙂
- dsp.stackexchange.com/questions/14990/…