Qual è una semplice descrizione ridotta allosso dellinterazione di scambio tra due elettroni?
Ad esempio, mi sembra che lunico gli ingredienti necessari sono linterazione di Coulomb e il requisito che la funzione donda totale sia antisimmetrica.
Commenti
- La tua intuizione è corretta. Una descrizione matematica di come questi due ingredienti cospirano per creare interazioni di scambio può essere trovata in Ashcroft & Mermin (capitolo 32) [questo è un calcolo piuttosto standard e io ' sono sicuro che appare anche in molti altri posti]
- È anche nel libro di testo quantistico introduttivo di Griffiths. Da qualche parte.
- Non ha nulla a che fare con la forza di Coulomb, ci sarebbe anche uninterazione di scambio tra due bosoni non caricati ma indistinguibili.
Risposta
Linterazione di scambio è unaggiunta ad altre interazioni tra particelle identiche causate dalla simmetria di permutazione.
Questa aggiunta è il risultato di una forma specifica di multi-particella Funzione donda. Non fornisce alcun contributo allHamiltoniano, a differenza delle interazioni “usuali”, ma appare come un termine aggiuntivo nelle equazioni per funzioni donda a singole particelle (ad es. Equazione di Hartree-Fock).
Interazione solitamente associata con energia e forze. Potremmo trovare la correzione dello scambio come una forza aggiunta alle forze di Coulomb, ma dovremmo prima capire cosè la forza nel sistema quantistico.
Consideriamo due fermioni con funzioni donda coordinate a particella singola $ \ psi_a ( x) $ e $ \ psi_b (x) $ e funzioni donda di spin $ \ phi_a (s) $ e $ \ phi_b (s) $. Le possibili funzioni donda a due particelle sono singoletto con la parte coordinata simmetrica $$ \ Psi_S (x_1 , x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) + \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$ e terzina con coordinate antisimmetriche part $$ \ Psi_A (x_1, x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) – \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$
Lascia che lHamiltoniano a due particelle non dipenda dagli spin: $$ \ hat {H} = \ frac {\ hat {\ mathbf {p}} _ 1 + \ hat {\ mathbf {p }} _ 2} {2m} + V (x_1, x_2) $$ allora lenergia media dellinterazione sarà: $$ U_S = \ left < \ Psi_S \ right | V \ left | \ Psi_S \ right > = U + U_ \ text {ex} $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right > + \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$ $ $ U_A = \ left < \ Psi_A \ right | V \ left | \ Psi_A \ right > = U – U_ \ text {ex } $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right > – \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$
Il termine $ U_ \ text {ex} $ non è zero solo se le particelle sono abbastanza vicine luna allaltra e le loro funzioni donda si sovrappongono (vedi immagine sotto). Nel limite classico, quando la distanza $ L $ è grande, la sovrapposizione è zero e $ U_S = U_A = U $
Supponiamo che $ \ psi_a $ e $ \ psi_b $ siano non negativi ovunque anv $ V $ agisca come interazione coulombiana (cioè positiva e diminuisce allaumentare della distanza). Quindi $ U $ e $ U_ \ text { ex} $ sono positivi e lenergia dello stato di coordinate simmetriche (spine opposte) è maggiore dellenergia dello stato di coordinate antisimmetriche (spine simili). Se le posizioni medie delle particelle sono fisse, linterazione di scambio metterà gli spin nella stessa direzione.
La forza di interazione tra le particelle può essere definita come la forza generalizzata corrispondente al parametro L: $$ F = – \ frac {\ partial U} {\ partial L} $$ Allinterno delle nostre ipotesi riguardanti $ \ psi_a $, $ \ psi_b $ e $ V $ la derivata di $ U $ e $ U_ \ text {ex} $ sono negativi. Quindi la forza “normale” è positiva (repulsione) e la forza di scambio è positiva per la coordinata simmetrica s tate e negativo per lo stato delle coordinate antisimmetriche (attrazione).
Quindi linterazione di scambio per il caso di due le particelle possono essere considerate come forza aggiuntiva a seconda della configurazione dello spin. Per particelle multiple questo è più complicato.
Commenti
- Salve, come capire la forza effettiva dellinterazione di scambio per Fermione è attraente? Molto controintuitivo.