Significato dello spazio di Fock

Supponi di avere un sistema descritto da uno spazio di Hilbert $ H $ , per esempio una singola particella. Lo spazio di Hilbert di due particelle non interagenti dello stesso tipo di quello descritto da $ H $ è semplicemente il prodotto tensore

$$ H ^ 2: = H \ otimes H $$

Più in generale, per un sistema di $ N $ particelle come sopra, lo spazio di Hilbert è

$$ H ^ N: = \ underbrace {H \ otimes \ cdots \ otimes H} _ {N \ text {times}}, $$

con $ H ^ 0 $ definito come $ \ mathbb C $ (cioè il campo sottostante $ H $ ).

In QFT ci sono operatori che intrecciano i diversi $ H ^ N $ s, cioè crea e annichila particelle. Esempi tipici sono gli operatori di creazione e annullamento $ a ^ * $ e $ a $ . Invece di definirli in termini di azione su ciascuna coppia di $ H ^ N $ e $ H ^ M $ , si può dare una definizione " completa " sullo spazio di Hilbert più grande definito prendendo la somma diretta di tutti i multi -spazi delle particelle, vale a dire.

$$ \ Gamma (H): = \ mathbb C \ oplus H \ oplus H ^ 2 \ oplus \ cdots \ oplus H ^ N \ oplus \ cdots, $$

noto come lo spazio di Fock Hilbert di $ H $ e talvolta anche indicato come $ e ^ H $ .

Da un punto di vista fisico, la definizione generale di spazio Fock sopra è irrilevante. È noto che particelle identiche osservano una statistica (para) definita che ridurrà leffettivo spazio di Hilbert (mediante simmetrizzazione / antisimmetrizzazione per il caso bosonico / fermionico ecc …).

Commenti

• Ottima risposta! Vorrei che scrivessero i libri di testo QFT in questo modo.

Grandi risposte, ma forse solo per completezza sarà illustrativo per avere un esempio.

Supponi che il tuo $ H ^ 1 $ contenga alcuni stati di particella singola $ | a \ rangle $, $ | b \ rangle $, ecc. Lo spazio di Fock rimuove la limitazione su essendo una singola particella, ed è composto da $ H ^ 0 $ (che è unidimensionale), $ H ^ 1 $, $ H ^ 2 = H \ otimes H $, ecc. consente stati come

• lo stato del vuoto, chiamiamolo vuoto ket $ | \ rangle $,
• tutti gli stati delle singole particelle, $ | a \ rangle, | b \ rangle, \ ldots $,
• tutti gli stati di due particelle, $ | aa \ rangle, | ab \ rangle, | ba \ rangle, \ ldots $ (NB che questa costruzione li ritiene distinguibili),

ma soprattutto

• qualsiasi sovrapposizione di quanto sopra , come $ \ frac {e ^ {i \ pi / 4 }} {\ sqrt2} | \ rangle + \ frac12 | a \ rangle – \ frac12 | aab \ rangle \ otimes \ left (\ frac1 {\ sqrt2} | a \ rangle + \ frac i {\ sqrt2} | b \ rangle \ destra) $.

Questo spazio è intrinsecamente infinito-dimensionale anche se inizi con qualcosa di piccolo come un qubit. Se vuoi immaginare il risultato con laiuto di una base, concatena semplicemente gli elenchi degli stati base di tutti i componenti:

$$ \ {| \ rangle, | 0 \ rangle, | 1 \ rangle, | 00 \ rangle, | 01 \ rangle, | 10 \ rangle, | 11 \ rangle, | 000 \ rangle, | 001 \ rangle, \ ldots \} $$

Nella limpostazione più banale la singola particella non ha realmente stati distinti, quindi $ H ^ 1 $ è unidimensionale. Ha ancora senso scegliere uno stato fiduciale $ | {} \ circ {} \ rangle \ in H ^ 1 $ e costruire lo spazio Fock con base

$$ \ {| \ rangle =: | 0 \ rangle, | {} \ circ {} \ rangle =: | 1 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 2 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 3 \ rangle, \ ldots \}, $$

un esempio di uno stato potrebbe essere, diciamo, uno stato coerente

$$ | \ alpha \ rangle = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ alpha ^ n} {\ sqrt {e ^ {| \ alpha | ^ 2} n!}} | n \ rangle $$

e hai un bellesempio del perché le persone possono parlare di eccitazioni come di “fononi” in un oscillatore armonico anche se oscilla solo una particella!

Sì, è così. Costruisci uno spazio Hilbert “grande” da quelli “piccoli”, se vuoi.