Qualcuno sa cosa sarebbe $ tr (t ^ at ^ bt ^ ct ^ d) $, dove $ t ^ a $ ecc. sono matrici Gell-Mann? Ciò è avvenuto durante lanalisi del fattore colore per leffetto composto per QCD. Quindi, deve essere abbastanza comune, ma non sono riuscito a trovare un riferimento appropriato. In generale cè qualche riferimento per la traccia del numero arbitrario di matrici di Gell Mann?
Risposta
Prendo la SU (N) generatori nella rappresentazione fondamentale normalizzati in modo tale che $$ \ text {Tr} \ left [T ^ a T ^ b \ right] = \ frac {1} {2} \ delta ^ {ab} $$
Il commutatore di due generatori definisce le costanti della struttura $ f ^ {abc} $
$$ \ left [T ^ a, T ^ b \ right] = if ^ {abc} T ^ c $$
Lanticommutatore di due generatori è
$$ \ left \ {T ^ a, T ^ b \ right \} = \ frac {1} {N} \ delta ^ { ab} 1 + d ^ {abc} T ^ c $$
dove per $ 1 $ intendo la matrice identità e $ d ^ {abc} $ sono il “simbolo d” definito come
$$ d ^ {abc} = 2 \ text {Tr} \ left [\ left \ {T ^ a, T ^ b \ right \} T ^ c \ right] $$
Quindi, cè unidentità utile
$$ \ text {Tr} \ left [T ^ aT ^ bT ^ cT ^ d \ right] = \ frac {1} {4N} \ delta ^ { ab} \ delta ^ {cd} + \ frac {1} {8} \ left (d ^ {abe} d ^ {cde} – f ^ {abe} f ^ {cde} + if ^ {abe} d ^ { cde} + if ^ {cde} d ^ {abe} \ right) $$
Ti suggerisco questo riferimento http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph218/sunid17.pdf dove vengono raccolte diverse identità di traccia. Nel tuo caso, guarda lequazione 75 nellAppendice B, pagina 9.
Controlla la normalizzazione dei generatori prima di usare questa identità.
Commenti
- Di regola solo le risposte ai link sono attivamente scoraggiate, perché se il link si interrompe la risposta è inutile. Per favore usa Mathjax per modificare le equazioni appropriate in modo che la risposta possa stare da sola.
- @Angela se questo risponde alla tua domanda, dovresti contrassegnarla come risposta.