Trova h [n] utilizzando le proprietà DTFT

Mentre questo è dai tuoi compiti di ammissione (e abbastanza semplice), morderò. Ricorda la definizione di DTFT :

$$ X (\ omega) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] e ^ {- j \ omega n} $$

E ricorda la definizione della risposta in frequenza $ H ( \ omega) $:

$$ H (\ omega) = \ frac {Y (\ omega)} {X (\ omega)} $$

dove $ x [n ] $ è linput del sistema e $ y [n] $ è il suo output. Combina queste due equazioni:

$$ \ begin {eqnarray *} H (\ omega) X (\ omega) & = & Y (\ omega) \\ \ frac {1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}} { 1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}} X (\ omega) & = & Y (\ omega) \ \ (1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}) X (\ omega) & = & (1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}) Y (\ omega) \\ X (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega} X (\ omega) & = & Y (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j \ omega} Y (\ omega) \ end {eqnarray *} $$

Ora, esegui il DTFT inverso su entrambi i lati dellequazione. Per definizione, $ X (\ omega) $ e $ x [n] $ sono una coppia di trasformazione; allo stesso modo per $ Y (\ omega) $ e $ y [n] $. Per gli altri due termini, ricorda la proprietà di spostamento temporale del DTFT:

$$ x [nk] \ leftrightarrow e ^ { -jk \ omega} X (\ omega) $$

che può essere facilmente mostrato dalla definizione di DFT. Utilizzando questa proprietà, lequazione inversa si trasforma nella specifica equazione alle differenze per il sistema:

$$ x [n] – a ^ 4 x [n-4] = y [n] – a ^ 4 y [n-1] $$

$$ y [n] = x [n] – a ^ 4 x [n-4 ] + a ^ 4 y [n-1] $$

Questa è la definizione di un filtro ricorsivo, che sono solitamente IIR; questo è il caso di questo. Trovare la risposta allimpulso è facile; lascia $ x [n] = \ delta [n] $ e trova che loutput di sistema è:

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4 ( n-4) +4} u [n-4] $$

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4n-12} u [n- 4] $$

Quanto sopra è tracciato per $ a = 0,99 $. Va notato che il sistema è stabile solo per $ | a | \ le1 $.

Commenti

• I ' ho provato a calcolare la risposta allimpulso ma mi sono ingarbugliato. Potresti mostrare come ' è fatto? grazie.

$$ \ begin {align *} H (\ omega) & = \ frac {1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)} {1-a ^ 4 \ exp (-j \ omega)} \\ & = (1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)) \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (a ^ 4 \ exp (-j \ omega)) ^ n \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) – \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n +4} \ exp (- (n + 4) j \ omega) \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ 3 a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) + \ sum_ {n = 4} ^ \ infty [a ^ {4n} – a ^ {4n-12}] \ exp (-nj \ omega) \\ h [n] & = \ begin {cases} 0, & n < 0, \\ a ^ {4n}, & n = 0, 1, 2, 3, \\ a ^ {4n} – a ^ {4n-12}, & n \ geq 4. \ end {cases} \ end {align *} $$ Dato che la risposta allimpulso si estende fino a $ \ infty $, questo è un filtro IIR. JasonR afferma nella sua risposta che il filtro è stabile solo se $ | a | < 1 $. In effetti, il filtro è stabile quando $ | a | \ leq 1 $, ed è instabile solo per $ | a | > 1 $. Tuttavia, quando $ | a | = 1 $, dalla formula della serie geometrica $ 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 = \ frac {1-r ^ 4} {1-r} $, otteniamo che $$ H (\ omega) = \ frac {1- \ exp (-4j \ omega)} {1- \ exp (-j \ omega)} = 1 + \ exp (-j \ omega) + \ exp (-2j \ omega) + \ exp (-3j \ omega) $$ è la funzione di trasferimento di un filtro FIR (stabile) che può essere descritto come un integratore a breve termine o media a breve termine (con guadagno $ 4 $).

Commenti

• Bella derivazione alternativa. Ho anche corretto la mia richiesta di stabilità nella mia risposta.