Unità in costante gravitazionale

Bene, il modo per trovare le unità della costante occorre considerare lequazione alla quale partecipa:

$$ F = G \ frac {m_1 m_2} {r ^ 2} $$

$ F $ è una forza: quindi è misurata in newton ($ \ nomeoperativo {N} $). Un newton è la forza richiesta per dare a un chilogrammo unaccelerazione di un metro al secondo al secondo: quindi, nelle unità SI, le sue unità sono $ \ nomeoperatorno {kg} \ nomeoperatorno {m} / \ nomeoperatorno {s} ^ 2 $. $ m_1 $ e $ m_2 $ sono masse: nelle unità SI sono misurate in chilogrammi, $ \ nomeoperatorno {kg} $ e $ r $ è una lunghezza: è misurata in metri, $ \ nomeoperativo {m} $.

Quindi, di nuovo in unità SI possiamo riscrivere quanto sopra come qualcosa del tipo

$$ \ phi \ operatorname {N} = \ phi \ operatorname {kg} \ operatorname {m} / \ operatorname {s} ^ 2 = G \ frac {\ mu_1 \ mu_2} {\ rho ^ 2} \ frac {\ operatorname {kg} ^ 2} {\ operatorname {m} ^ 2} $$

dove $ \ phi $, $ \ mu_1 $, $ \ mu_2 $ e $ \ rho $ sono numeri puri (sono i valori numerici delle varie quantità in unità SI). Quindi dobbiamo ottenere le dimensioni di questo per avere un senso, e solo facendo questo è immediatamente evidente che

$$ G = \ gamma \ frac {\ operatorname {m} ^ 3} {\ operatorname {kg} \ operatorname {s} ^ 2} $$

dove $ \ gamma $ è un numero puro ed è il valore numerico di $ G $ in unità SI.

In alternativa, se rimettiamo i newton su LHS otteniamo

$$ G = \ gamma \ frac {\ operatorname {N} \ operatorname {m} ^ 2} {\ operatorname {kg ^ 2}} $$

Per rispondere a questa domanda dobbiamo dare unocchiata allequazione $ F_g = Gm_1m_2 / d ^ 2 $.Quindi, se G è misurato in $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 $ e la massa è misurata in kg e la distanza è misurata in m, la forza viene misurata con $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 \ cdot kg ^ 2 / m ^ 2 $, che semplifica a $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $

E ora per definire $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $ il tuo istinto potrebbe essere dividerlo in $ \ rm m / s ^ 2 $ e kg. Se $ \ rm m / s ^ 2 $ è ununità di accelerazione e kg è ununità di massa, la forza deve essere massa moltiplicata per laccelerazione. Questo è descritto da Sir Issac Newton PRS “La seconda legge del moto descrive:

$ F = ma $

Quindi ha senso che la costante gravitazionale G sia misurata in $ \ rm m ^ 3 / kg ^ 1 ~ s ^ 2 $.

Commenti

• Non sono sicuro che ” PRS ” è necessario per descrivere Newton

È un problema.

Le costanti alludono a numeri puri quindi è davvero divertente che una costante abbia unità di misura.

È un problema appropriato. Trovi, o indovina che qualcosa dipende da qualcosaltro, proporzionalmente come quando x va da 3 a 4, y va da 6 a 8, (quindi y = 2 * x dove 2 è una costante) o inversamente proporzionale (y = x / 2), quindi quando sei soddisfatto di aver trovato tutto ciò che può influenzare quel qualcosa hai praticamente la tua equazione, come y = a x ^ 2 + bx + c il semplice quadratico in una dimensione o qualcosa come w = x y.

Lultimo passaggio consiste nellaggiungere costanti in modo che i numeri, i risultati corrispondano.

Tuttavia, se in base ai principi delle unità di misura le unità non corrispondono, hai un problema. Ti sacrificherai per questo se la tua costante è valida anche se ha unità, ma forse tieni presente che lequazione è molto più di questa semplificazione o, naturalmente, che la tua idea originale di unità di misura ha un difetto. ridefinisci i tuoi primi principi, ovvero la velocità non è metro / secondi quindi lasciamolo fuori per ora.

Lequazione gravitazionale in questa forma è anche molto simile alla legge di Coulomb, troppo simile infatti, entrambe sono per lo più guide per dire che la forza è proporzionale alle masse degli oggetti e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza (nel caso della gravità)

Si ottengono quadrati netti con la forza gravitazionale, cioè (kg / m) 2 quindi se lintera cosa è al quadrato, potresti chiederti cosa sia kg / m.

Ad esempio: i quadrati appaiono quando sei addi ng cose attraverso lintegrazione, integra un altro bel concetto matematico che tuttavia, almeno graficamente, è unapprossimazione.

Quindi diciamo se y = x ^ 2 allora dy / dx = 2x e lintegrazione è il contrario della differenziazione , usando la notazione “Integrale di x” come I (x), quindi I (2x) = 2 * (x ^ 2) / 2 + K (aggiungiamo sempre una costante di integrazione per la parte mancante.

Quindi forse la forza (gravitazionale) è f = I (qualcosa) e quindi finisce al quadrato.

La forza è un animale divertente. Hai cose come impulsi come cose come energia, lavoro e potenza, tutti concetti in fisica, connessi. Per esempio iirc work = power * time ma è solo buon senso parlare, quindi mi fermo qui.

Aggiunto:

Per iniziare a pensare a kg / m ea cosa sia, una cosa che mi è venuta in mente, questi due sono collegati quando qualcosa percorre una distanza, come dipende la distanza sulla massa? Beh, certamente quando hai attrito, la massa conta. Puoi pensare anche alla densità, che è massa / volume.

Quindi F ~ volume ^ 2 e forse F = volume qualcosa, che lo riporta a kg m / s ^ 2. qualcosa che nel locale percepibile è stabile, costante. Intendiamoci se F = I (x) e contiene m / s ^ 2, cè una relazione integrale tra velocità e accelerazione (s = v t + a t / 2) dove s è distanza, v è velocità, a è accelerazione et tempo. Tieni presente che anche lintegrazione è soggettiva, tu integri su qualcosa, quindi se w = x y e sia x che y sono variabili puoi integrare w su x e puoi integrare w su y. Questi sono / (possono essere) additivi a condizione che siano indipendenti perché se y = f (x) puoi andare alla singola variabile w = x f (x) => w = g (x)

Poiché questa domanda ha avuto 46.000 (!) visualizzazioni, può essere utile aggiungere una risposta anche dopo 4 anni.

$ G $ è una costante sperimentale richiesta per far corrispondere lenergia potenziale di Newton per sperimentare. Lenergia potenziale di Newton è $$ E_P = – \ frac {GM m} {r} ~. $$ Divisa per lenergia $ mc ^ 2 $ ottieni il potenziale senza dimensioni $$ V = – \ frac {GM} {c ^ 2r} ~. $. $ Poiché $ V $ è adimensionale $ GM / c ^ 2 $ è una lunghezza. Questa lunghezza è interpretata come la metà del raggio di un buco nero con massa M, $ r_M / 2 $ . G ha dimensione $ m ^ 3 kg ^ {- 1} s ^ {- 2} $ .Puoi quindi anche scrivere il potenziale adimensionale come $$ V = r_M / 2r $$ dove lunica costante è una lunghezza con uninterpretazione chiara anche se esotica.

Linterpretazione più diretta – quella che trascende la divisione paradigmatica tra fisica relativistica e non relativistica ed è collegata allequazione di Raychaudhuri, è quello in termini di contrazione del volume.

Una nuvola che circonda un corpo di massa $ M $ , i cui componenti sono tutti in movimento radiale, ha un volume che in funzione del tempo $ V (t) $ soddisfa lequazione $$ \ frac {d²V} {dt² } – \ frac {2} {3V} \ left (\ frac {dV} {dt} \ right) ^ 2 = -4πGM. $$ Se inizialmente stazionario, allora laccelerazione iniziale del volume, sotto forza di gravità, è $ – 4πGM $ , il negativo che indica che sta iniziando a contrarsi.

Quindi, le unità per $ GM $ sono metri cubi al secondo, al secondo.

La generalizzazione di questo a una $ n + 1 $ spazio-tempo dimensionale è $$ \ frac {d ^ 2V} {dt ^ 2} – \ frac {n -1} {nV} \ left (\ frac {dV} {dt} \ right) ^ ² = -n \ frac {π ^ {n / 2}} {(n / 2)!} G_n M, $$ utilizzando la convenzione $ (- 1/2)! = \ sqrt {π} $ , dove $ G_n $ è $ n $ – versione dimensionale del coefficiente di Newton; le cui unità sarebbero metroⁿ / (secondo² chilogrammo).