Valore atteso della distribuzione gamma

Supponendo che tu “riguardi la variabile casuale della distribuzione Gamma con forma $ \ alpha > 0 $ e valuti $ \ beta > 0 $ parametri, ovvero $ X \ sim Gamma (\ alpha, \ beta) $, puoi trovare $ \ mathbb {E} [\ frac {1} {X ^ 2}] $ nel modo seguente:

Per ogni variabile casuale X di distribuzione continua (come Gamma) per la quale $ f $ denota la sua funzione di densità di probabilità (nel tuo esempio $ f (x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 1} e ^ {- \ beta x} $) e per qualsiasi funzione $ g $ di questa variabile (nel tuo caso $ g (x) = \ frac {1} {x ^ 2 } = x ^ {- 2} $), contiene: $$ \ mathbb {E} [g (x)] = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} g (x) f (x ) dx $$

Nel tuo esempio, semplifica molto (fai attenzione a $ -3 $): $$ g (x) f ( x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 3} e ^ {- \ beta x} $$ La frazione non dipende da $ x $ , quindi può essere escluso da un integrale.

A proposito, per la distribuzione discreta è molto simile: $$ \ mathbb {E} [g (x)] = \ sum \ limits_ {x \ in \ mathcal {X}} g (x) f (x), ~~ \ text {dove} ~ \ mathcal {X} ~ \ text {denota il supporto per X (insieme di valori che può accettare)} $$

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Non ti terrò più con il fiato sospeso. Prima di tutto, ricorda che $ \ Gamma (\ alpha + 1) = \ alpha \ cdot \ Gamma (\ alpha) $.

Sia $ f _ {\ alpha} (x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 1} e ^ {- \ beta x} $. Combinando questi due risultati in una semplice osservazione: $$ x \ cdot f _ {\ alpha} (x) = \ frac {\ alpha} {\ beta} \ cdot f _ {\ alpha + 1} (x) $$ Consecutivamente: $ $ \ frac {f _ {\ alpha + 1} (x)} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha} \ cdot f _ {\ alpha} (x) $$ Usando questo due volte, otterrai il risultato :

$$ \ frac {f _ {\ alpha} (x)} {x ^ 2} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {f _ {\ alpha- 1} (x)} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} \ cdot f _ {\ alpha-2} (x) $$ Infine (dato che $ f _ {\ alpha-2} (x) $ è anche PDF il cui integrale è uguale a $ 1 $): $$ \ mathbb {E} (\ frac {1} {X ^ 2}) = \ int \ limits_ { – \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac {f _ {\ alpha} (x)} {x ^ 2} dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} { \ alpha-2} \ cdot \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f _ {\ alpha-2} (x) dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} $$ Questa soluzione sopra è per questo caso particolare, ma come whuber ha sottolineato , il caso più generale per qualsiasi $ p \ reale e positivo in \ mathbb {R}, ~ p > 0 $ contiene: $$ \ mathbb {E} (X ^ p) = \ beta ^ p \ cdot \ frac {\ Gamma (\ alpha + p)} {\ Gamma (\ alpha)} $$

Commenti

• @TJ Phu Facci sapere cosa hai veramente problema, forse con il calcolo di questo integrale? Comunque fatecelo sapere. Tuttavia, prova a seguire i commenti di gung e Silverfish e migliora il layout generale della domanda.
• @TJ Phu Forse la mia prima osservazione sul fare raw lintegrazione è stata un po fuorviante. Fammi sapere se hai compreso completamente la mia soluzione (semplicemente accettando / spuntando la mia risposta o quella più vicina).

lo farei in modo pigro: iniziando con una definizione e osservando attentamente ciò che ne consegue, al fine di vedere se qualcuno mi ha già mostrato la risposta. In quanto segue non sono necessari calcoli, e solo le regole più semplici (di esponenti e integrali) sono richieste per seguire lalgebra.

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Cominciamo con la distribuzione Gamma.Scegli ununità di misura di $ X $ in cui $ \ beta = 1 $ , in modo che possiamo direi abbastanza che $ X $ ha una distribuzione $ \ Gamma (\ alpha) $ . Ciò significa che la densità è positiva solo per i valori positivi, dove lelemento densità di probabilità è dato da

$$ f_ \ alpha (x) dx = \ frac {1 } {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x}. $$

(Se sei curioso, lespressione $ dx / x $ è spiegata in https://stats.stackexchange.com/a/185709 . Se non ti piace, sostituisci $ x ^ \ alpha dx / x $ con $ x ^ { \ alpha-1} dx $ .)

Ricorda che la costante di normalizzazione è lì per rendere lintegrale di $ f_ \ alpha (x) dx $ unità, da cui possiamo dedurre che

$$ \ begin {align} \ Gamma (\ alpha) & = \ Gamma (\ alpha) (1) = \ Gamma (\ alpha) \ int_0 ^ \ infty f_ \ alpha (x) dx = \ frac {\ Gamma (\ alpha)} {\ Gamma (\ alpha )} \ int_0 ^ \ infty x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x} \\ & = \ int_0 ^ \ infty x ^ { \ alpha} e ^ {-x} \ frac {dx} {x}. \ end {align} \ tag {1} $$

Non importa quale numero $ \ Gamma (\ alpha) $ in realtà lo è. È sufficiente vedere che è ben definito e finito, fornito $ \ alpha \ gt 0 $ e altrimenti diverge.

Ora passiamo alle regole delle aspettative. La ” legge dello statistico inconscio ” afferma laspettativa di qualsiasi funzione di $ X $ , come $ X ^ p $ per un po di potenza $ p $ (che di solito è positivo ma può essere negativo e persino complesso), si ottiene integrando quella funzione di $ x $ contro la densità:

$$ E [X ^ p] = \ int_0 ^ \ infty x ^ p \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac { dx} {x}. $$

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È ora di fissare. Ignorando lintegrale, lintegrando è unespressione abbastanza semplice. Riscriviamola usando le regole dellalgebra e, nel processo, spostiamo quel valore costante di $ 1 / \ Gamma (\ alpha) $ fuori dallintegrale:

$$ E [X ^ p] = \ frac {1} {\ Gamma ( \ alpha)} \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ a lpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x}. \ tag {2} $$

Dovrebbe sembrare terribilmente familiare: it ” è proprio come unaltra funzione di densità di distribuzione gamma, ma con la potenza $ p + \ alpha $ invece di $ \ alpha $ . Lequazione $ (1) $ ci dice immediatamente , senza ulteriori pensieri o calcoli, che

$$ \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x} = \ Gamma (p + \ alpha). $$

Inserendolo nel lato destro di $ (2) $ si ottiene

$$ E [X ^ p] = \ frac {\ Gamma (p + \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)}. $$

Sembra che sarebbe meglio (la parte reale di) $ p + \ alpha \ gt 0 $ in modo che converga, come indicato in precedenza.

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Per ricontrollare, possiamo utilizzare la nostra formula per calcolare i primi momenti e confrontarli, ad esempio, con cosa Wikipedia dice . Per la media otteniamo

$$ E \ left (X ^ 1 \ right) = \ frac {\ Gamma (1+ \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)} = \ alpha $$

e per il secondo momento (grezzo)

$$ E \ left (X ^ 2 \ right) = \ frac {\ Gamma (2+ \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)} = \ alpha (\ alpha + 1). $$

Di conseguenza la varianza è $$ E \ left (X ^ 2 \ right) – E (X) ^ 2 = \ alpha (\ alpha + 1) – \ alpha ^ 2 = \ alpha. $$

Questi risultati concordano perfettamente con lautorità. Non ci sono problemi di convergenza perché poiché $ \ alpha \ gt 0 $ , entrambi $ \ alpha + 1 \ gt 0 $ e $ \ alpha + 2 \ gt 0 $ .

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Ora puoi collegare in sicurezza $ p = -2 $ e trai le tue conclusioni sulla domanda originale. Ricordati di controllare le condizioni in cui esiste la risposta.E non dimenticare di cambiare le unità di $ X $ a quelle originali: questo moltiplicherà la tua risposta per $ \ beta ^ p $ (o $ \ beta ^ {- p} $ , a seconda di cosa pensi $ \ beta $ è una scala o una tariffa ).