$ X ( \ omega) $.
- $ g (t) $ : 진폭 1/2의 [-1,1]에서 상자를 만드는 방법을 이해합니다.
- $ x (t) = g (t) * g (t) $
- $ X (\ omega) = G (\ omega) G (\ omega) $
내가보고있는 해결책은 $ G (\ omega) = \ frac {2 \ sin (\ omega)} {2 \ omega} $
$ \ sin $이 어디에서 왔는지 이해할 수 없습니다. 2의 값이 서로 관련되어 있습니다. 저는 증명을 보았지만 누군가 변수가 무엇인지에 대한 간단한 설명을 제공 할 수 있습니다. 감사합니다.
Answer
아래 그림과 같이 두 개의 상자 함수를 컨볼 루션하여 삼각형 함수를 생성 할 수 있습니다.
여기서 2 단계가 시작됩니다.
컨볼 루션의 푸리에 변환 $ g (t) \ ast g (t) $는 $ g (t) $의 푸리에 변환을 그 자체와 곱하여 계산할 수 있습니다. 즉, $ G (\ omega) G (\ omega) $.
box 함수는 Sinc 함수입니다 ($ \ textrm {sinc} (x) = \ frac {\ textrm {sin} (x)} {x} $).
따라서 $ G (w) $는 sinc 함수의 일부 스케일링 된 버전이고 삼각 함수의 푸리에 변환은 $ G (w) ^ 2 $입니다.
Answer
좋습니다. $ x (t) $ 신호가 두 직사각형 함수의 컨볼 루션에 의해 제공된다는 것을 이해합니다. $ 1 / 2 $의 높이로 $ -1 $에서 $ 1 $로 연장됩니다. 남은 것은이 직사각형 함수의 푸리에 변환을 결정하는 것뿐입니다. 푸리에 변환의 정의를 적용하면 매우 쉽게 수행 할 수 있습니다.
$$ G (\ omega) = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} g (t) e ^ {- j \ omega t} dt = \ frac12 \ int _ {-1} ^ {1} e ^ {-j \ omega t} dt $$
이 적분을 직접 해결할 수 있습니다. 사인 함수가 작동하는 이유는
$$ \ sin \ omega = \ frac {e ^ {j \ omega} -e ^ {-j \ omega}} {2j} $$
마지막으로 $ x (t) $의 푸리에 변환은
$$ X (\ omega) = G ^ 2 (\ omega) $$
Answer
푸리에 변환의 기본 함수는 사인과 코사인입니다. 복잡한 신호 분석에 Sin 함수가 나타났다는 사실에 놀라지 마십시오.