Kommentarer
- Ingen reelle behov for å gjøre det, selv om du kan forventes å gjøre det. Det ' er faktisk en langt mer grunnleggende identitet enn noe som krever integral. Du trenger bare å blande operatørene fra side til side av bra-ket-uttrykket, ved å bruke definisjonen av det hermitiske konjugatet.
Svar
Som leftaroundabout skrev, er integrering av deler ubrukelig. Du har ikke uttrykk for operatører, så det er ingen grunn til det. Men du kan bruke følgende: \ begin {align} \ langle \ Psi_ {1} | (\ hat {A} \ hat {B}) ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle & = \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} \ hat {B} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*} \\ & = \ sum_ {c} \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} | c \ rangle ^ {*} \ langle c | \ hatt {B} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*} \\ & = \ sum_ {c} \ langle c | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} | c \ rangle \\ & = \ sum_ {c} \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} | c \ rangle \ langle c | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle \\ & = \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle, \ end {align} der jeg brukte definisjon av hermitisk konjugat, $$ \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle = \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*}, $$ og basis $ | c \ rangle $ av egenvektorer til en operator i et Hilbert-mellomrom, $ \ langle c | c \ rangle = 1 $; $ \ sum_c | c \ rangle \ langle c | = \ mathbb 1 $
Svar
Du trenger faktisk ikke velge et grunnlag som angitt i Andrew McAdams svar.
Dette er enklest å bevise i matte notasjon (i motsetning til Dirac-notasjon) hvor $ (\ cdot, \ cdot) $ er det indre produktet, så for alle vektorer $ \ phi $ og $ \ psi $ i Hilbert-området, og for operatørene $ A $ og $ B $ har vi \ begin {align} (\ phi, AB \ psi) = (A ^ \ dolk \ phi, B \ psi) = (B ^ \ dolk A ^ \ dolk \ phi, \ psi) \ end {align} mens du derimot \ begynner {align} (\ phi, AB \ psi) = ((AB) ^ \ dolk \ phi, \ psi) \ end {align} som innebærer $ B ^ \ dolk A ^ \ dolk = (AB) ^ \ dolk $ som ønsket.
Kommentarer
- og her som en enkelt linje, bare for å gjøre det: $ ((AB) ^ \ dolk \ phi, \ psi ) = (\ phi, AB \ psi) = (A ^ \ dolk \ phi, B \ psi) = (B ^ \ dolk A ^ \ dolk \ phi, \ psi) \; \ forall \ phi, \ psi \ Leftrightarrow (AB) ^ \ dolk = B ^ \ dolk A ^ \ dolk $