Jeg trenger å beregne antall fotoner i en lysstråle $ P $ . Jeg vet at den har konstant effekt $ P $ over hele bølgelengdene $ [\ lambda_1, \ lambda_2] $ . Så for å beregne dette har jeg brukt en formel som er gitt i et annet SE-spørsmål:
$$ N = \ frac {1} {h} \ int _ {\ nu_1} ^ {\ nu_2} \ frac {1} {\ nu} \ frac {dE} {d \ nu} d \ nu $$
Alt er i orden , og ved hjelp av dette kom jeg opp med $ N = ln (\ nu_2 / \ nu_1) $ . Men jeg er ikke helt overbevist om den formelen fordi jeg ikke er i stand til å utlede den fra $ E = N (\ nu) h \ nu $ .
Svaret jeg får fra formelen virker riktig, men jeg trenger bevis for det.
Kilde for ligningen: Antall fotoner
Kommentarer
- Så hva er uttrykket for $ dE / d \ nu $ du brukte for å evaluere integralen din?
- Vel, kraften fordeles jevnt over intervallet, så jeg sa $ E = h \ nu $, og dermed $ dE / d \ nu = h $
- Hvorfor ikke $ E = 2h \ nu $ ? Det er mange muligheter Hvorfor velger du en spesifikk? Ligningen $ E = h \ nu $ er relatert til energien til en enkelt foton. Hva om du ikke har enfotonkilde? Selv om kilden din er enkelt foton. Disse tingene produserer vanligvis mange tusen enkeltfotonpulser per sekund, så igjen, ditt valg for $ E $ virker rart.
- Det ' er ikke så rart . Jeg ' m beregner det totale antall fotoner som sendes ut av kilden, og de er jevnt fordelt. Med dette mener jeg at kraften er den samme for hver frekvens i området. Så $ E = h \ nu $ skal være den funksjonen jeg vil ha. Hvis ikke, vennligst rett meg
Svar
Kraft er mengden energi som overføres per sekund, så du vant » ikke være i stand til å beregne antall fotoner. I stedet beregner du antall fotoner per sekund. Jeg tar $ P $ for å bety den totale stråleeffekten innen frekvensen spenner fra $ \ nu_1 $ til $ \ nu_2 $ .
Antall fotoner per sekund i et lite spektralintervall $ \ delta \ nu $ kommer til å avhenge av forholdet mellom stråleeffekt i det spektrale intervallet, og energien per foton i spektralintervall.
Strålens kraft er lik antall fotoner per sekund, delt på energien per foton. Fotonene har et frekvensområde, $ \ nu_1 $ til $ \ nu_2 $ . Problemet sier at effekten er den samme for hver frekvens cy innenfor det området.
La N være det totale antall fotoner per sekund som overføres av strålen. La oss velge et lite frekvensområde fra $ \ nu_i $ til $ \ nu_i + \ delta \ nu $ . Vi kan late som alle fotonene i det lille området har samme frekvens, $ \ nu_i $ . Så antall fotoner per sekund i det området er $ \ delta \ nu \ frac {dP / d \ nu} {h \ nu_i} $ . Men $ dP / d \ nu $ er en konstant: $$ dP / d \ nu = P / (\ nu_2- \ nu_1) $$
For å finne det totale antallet fotoner per sekund i hele området, må vi legge opp alle bidragene fra alle de små områdene:
$$ N (totale fotoner / sek) = \ frac {P} {\ nu_2- \ nu_1} \ sum (\ delta \ nu \ frac {1} {h \ nu_i}) $$
over hele $ \ nu_i $ i området. Det er bare integralen
$$ N = \ frac { P} {\ nu_2- \ nu_1} \ int _ {\ nu_1} ^ {\ nu_2} \ frac {1} {h \ nu} d \ nu $$
der $ N $ er antall fotoner per sekund innenfor området $ \ nu_1 $ til $ \ nu_2 $ .
(Forhåpentligvis har jeg ikke gjort noen feil i matematikken. Jeg er veldig klønete med MathJax.)
Kommentarer
- Det er greit, men det jeg ville vite er avledningen for formelen. Jeg mener , hvordan kommer du dit fra $ E = Nh \ nu $?
- $ N $ i formelen jeg ga er et antall fotoner per sekund . $ N $ i $ E = Nh \ nu $ er et antall fotoner, ikke et antall fotoner per sekund.
- Fin, så si $ P = Nh \ nu $ hvor $ N $ er antall oh fotoner per sekund. Hvordan utleder du formelen for $ N $ når $ \ nu $ er et intervall?
- Ah så: du må forstå bedre hva integralet betyr. Jeg vil redigere svaret mitt for å inkludere det.
- Redigeringen gjorde det så mye tydeligere! Men det er en siste ting som plager meg …Når du skriver antall fotoner per sekund i det lille frekvensområdet, hvordan får du det? Jeg kan ' ikke synes å pakke hodet rundt denne ideen. Det er den eneste tvilen jeg virkelig hadde. Fra begynnelsen vet jeg at jeg skulle integrere en funksjon over $ \ nu $, men jeg kunne ikke komme dit. Dette viktige trinnet gir meg virkelig problemer, det høres veldig rett ut, men jeg føler at jeg ' savner et trinn.