Jeg fikk et problem for lekser der vi trengte å beregne tiden for et fallende objekt for å nå en viss hastighet når du bokfører dragkraft. Jeg gjorde det ved å sette opp akselerasjon som en funksjon av hastighet og integrering (det var en differensialligning).
Dette er imidlertid et innledende fysikkurs uten kunnskap om kalkulator som kreves for å gå inn. Vi har ikke engang gjort derivater ennå, strengt tatt. Jeg var heldig nok til å ha tatt kalkulator før, så jeg ble i stand til å gjenkjenne og løse differensiallikningen.
Da jeg spurte klassekameratene mine hvordan de gjorde det, sa de at de rotet med tall til de fikk noe som fungerte (det var online uten poeng trukket for feil svar For de fleste av dem delte de bare terminalhastigheten med akselerasjon på grunn av tyngdekraften, noe som ikke gir mening, siden vi ikke engang ba om tid det tok å nå terminalhastigheten, men 63% av den. Den metoden tilfeldigvis rundet til samme nummer som den riktige.
Spørsmålet mitt er, er det noen måte å finne denne verdien ved hjelp av elementær fysikk, eller ga professoren oss et urettferdig problem? TA-ene var ikke til hjelp, og jeg har undervisning i kontortiden hennes.
Selve spørsmålet er som følger:
The terminalhastighet på en 4 × 10 $ ^ {- 5} $ kg regndråpe er omtrent 9 m / s. Forutsatt at en dragkraft $ F_D = −bv $, bestem tid som kreves for et slikt fall, fra hvile, for å nå 63 % av terminalhastighet.
Kommentarer
- Siden svaret innebærer en eksponentiell / logaritme en vei eller en annen, må man utvikle en slags løsning som involverer en eksponentiell / logaritme. Velg giftet ditt … Jeg har en følelse av at ' kommer til å være en tilnærming av kalkulatoren.
- Jeg tror en løsning med logaritmer ville være rettferdig. Vi ' forventes ganske mye å vite det. Problemet er at jeg kan ' t for livet mitt, tenk på noen måte å gjøre dette på som ikke ' t innebærer en differensialligning. Kanskje jeg t ' s fordi jeg ' m pleide å gjøre problemer på den måten etter å ha tatt kalkulator. Hvis noen kunne finne på en annen metode, ville det bli satt stor pris på det.
- Det ' er muligens relatert til at 63% er $ 1 – e ^ {- 1} $
Svar
Hvis dragkraften modelleres som en lineær funksjon av hastigheten $ (\ vec { F} _D = -b \ vec {v}) $, så er problemet grei . Den vertikale kraftbalansen for en fallende dråpe er $$ \ Sigma F_y = mg-bv = m \ dot {v}, $$ som gir følgende differensialligning for hastigheten: $$ \ boxed {\ dot {v} + \ frac {b} {m} v = g}. $$ I det begrensende tilfellet av maksimal hastighet / nullakselerasjon $ (\ dot {v} = 0) $, forenkles kraftbalansen til $$ mg = bv_ {max} , $$ eller $$ \ boxed {v_ {max} = \ frac {mg} {b}}. $$ Gå tilbake til differensiallikningen vår, hvis starthastigheten $ v (0) = 0 $, så løsningen på denne ODE er $$ v (t) = \ frac {mg} {b} \ left [1-e ^ {- bt / m} \ right]. $$ Ved å definere tidskonstanten som $ \ tau = \ frac { m} {b} $ og bruker definisjonen av terminalhastigheten, forenkler tidsutviklingen av hastigheten til $$ \ boxed {v (t) = v_ {max} \ left [1-e ^ {- t / \ tau } \ høyre]}. $$ Posisjonen, hvis ønskelig, blir funnet lett nok ved å utføre en annen integrering: $$ y (t) = \ int {v} dt = v_ {max} \ int {\ left (1-e ^ {- t / \ tau} \ right)} dt. $$ Forutsatt at startposisjonen $ y (0) = 0 $ og forenkling, blir løsningen for vertikal posisjon da $$ \ bokset {y (t) = v_ {max} t + v_ {max} \ tau \ left [e ^ {-t / \ tau} -1 \ right]}. $$ Så vi har nå analytiske løsninger for akselerasjon, hastighet og posisjon for det fallende objektet som en funksjon av tid og systemparametrene, som alle er kjent ( bortsett fra $ b $). Vær imidlertid oppmerksom på at den forespurte tiden for å nå en hastighet på $ 0.63v_ {max} $ ikke er vilkårlig. Etter at en tidskonstant har gått, vil vi ha $$ \ frac {v (\ tau)} {v_ {max}} = 1-e ^ {- 1} = 0.63212 = \ boxed {63.212 \%}. $$ Dermed trenger vi bare å beregne verdien av tidskonstanten, og den resulterende verdien vil være ditt svar. Når det gjelder klassekameratene dine, tar de ikke feil. Målet vårt er å beregne $ \ tau $, og hvis du ser nøye på vår tidligere matte vil du se at $ \ tau $ faktisk tilsvarer terminalhastigheten delt på $ g $. Oktavdiagrammer av posisjon, hastighet og akselerasjonsfunksjoner er inkludert nedenfor for referanse (erstatt $ k $ med $ b $ i det andre plottet).
Kommentarer
- Ja, vi ble aldri lært at ligning du koblet til. Men takk, dette er ganske mye det jeg lette etter.Jeg ville bare vite om det var en mer generell metode for å løse dette spørsmålet som vi skulle være i stand til å finne ut, og det ser ut til at svaret er nei.
- @JakeChristensen Det kan fortsatt være en annen måte å finne svaret på, men husk at Calculus (i det minste Newton ' s Calculus) ble oppfunnet for å løse fysikkproblemer 😉
Svar
Drag er vanligvis proporsjonalt med hastighet i kvadrat, og dermed er akselerasjonen nedover
$$ a = \ dot {v} = g – \ beta v ^ 2 $$
Løsningen på slik bevegelse er $$ \ begin {align} x & = \ int \ frac {v} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {2 \ beta} \ ln \ left ( 1 – \ frac {\ beta v ^ 2} {g} \ right) \\ t & = \ int \ frac {1} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {4 \ sqrt {\ beta g}} \ ln \ left (\ frac {(v \ sqrt {\ beta} – \ sqrt {g}) ^ 2} {(v \ sqrt {\ beta } + \ sqrt {g}) ^ 2} \ høyre) \ slutt {justert} $$
Så koble til hastigheten $ v $ du vil målrette mot, og det vil gi deg avstanden $ x $ og $ t $ for å nå den.
PS. Hvis du ikke kjenner draparameteren $ \ beta $ , men i stedet kjenner du topphastigheten, kan du estimere den fra topphastigheten ved å løse $ a = g – \ beta \, v _ {\ rm top} = 0 $ .
Svar
1) Finn kraften til drag ved terminalhastighet. 2) Multipliser denne kraften med .63 (63%) 3) Del denne nye kraften med massen av regnfallet 4) Bruk hastighetens akselerasjonstid kinematikkligning for å løse tiden $$ {(V) = (Vi + a (t))} $$
Kommentarer
- Dette er ikke ' t riktig. Du antar at akselerasjonen er konstant (som det eksplisitt ikke er i noe spørsmål som involverer endrede hastigheter og luftmotstand) . Jeg ' Jeg antar her at $ a (t) $ betyr $ a * t $, siden hvis du mener $ a $ som en funksjon av $ t $, gir det ingen mening alle.