Beste måten å lære trigonometri

Schaums konturer er veldig praktiske generelt og billige. Velegnet for en eldre elev. Ofte svarene er rett etter problemene kontra på slutten. Og du får alle svarene, ikke den rare / jevne gypen. Dermed egnet for selvlæring.

Jeg liker denne, samlet og eier den: https://www.amazon.com/gp/product/0070026505/ref=dbs_a_def_rwt_hsch_vapi_taft_p1_i10

Det er fra 1960-tallet, så språket er ikke arkaisk, men det er ikke «ny». Ikke sikker på hvilken fordel annet enn språk du vil ha fra nyere versjoner, men hvis du vil ha en nyere, har de en nylig 4. utgave College Math du kan få i stedet.

Merk, dette er en generell forhåndsberegning bok (og sannsynligvis det du trenger). Men hvis du bare vil ha en trig-primer, har Schaum også det. Åpenbart flere trigproblemer i trig-boka enn precalc-boka (som har alle vanlige videregående kurs dekket).

Ps Det ville være lettere å gi deg råd om hadde fortalt oss hvilke bøker som sviktet deg. Som om jeg skrev et langt svar forgjeves?

Pss Jeg er ikke sikker på hvorfor trig er så mye en hindring for folk. Men jeg anbefaler å først tenke på synd og cos og slikt i sammenheng med enhetssirkelen, ikke forholdet mellom sidene av trekanter. Det er bare litt enklere konsept og uten forhold å holde styr på.

https://www.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:trig/x2ec2f6f830c9fb89:unit-circle/v/unit-circle-definition-of-trig-functions-1 (Kahn gjør det litt mer komplekst her ved å snakke om forhold. Men da jeg lærte det, var den store fordelen en aller første introduksjon uten forhold … bare x- og y-akser av enhetssirkelen.

Kommentarer

• Takk for svaret! Og du ‘ har rett, jeg burde ha nevnt hvilke bøker. De 3 bøkene er Trigonometry, 5. utgave av Lial, Miller, Hornsby, 1993., Trigonometry Workbook for Dummies av Mary Sterling, og College Trigonometry av Stitz og Zeager, 2013. Jeg ‘ Jeg begynner forberegning på uni når sommeren slutter, og jeg ‘ er sikker på at jeg ‘ vil bli komfortabel med trig snart nok. Jeg håper bare å lære nok i mellomtiden så jeg avslutter min første bane uten for mange støt nedover veien.
• Sørg for at du jobber med mange problemer. Du føler deg kanskje » Jeg ‘ får ikke det «. Men hvis du jobber med store mengder problemer, vil det bare bli rillet inn i hodet på deg. Og arbeidsproblemer betyr å dekke svaret, jobbe problemet hele veien. Sjekker svaret ditt. Gjenta (helt) eventuelle problemer som du savner fra bunnen av (selv for tåpelige tegnfeil). Behandle det som fysisk trening for en sport eller å lære et musikkinstrument. Vær flittig.
• @RustyCore Bare for å være tydelig overfører jeg ‘ fra en lokal høyskole. Det jeg studerte på college var ikke relatert til matematikk og hadde veldig lite mattekrav, derav min første matematikktime på uni var forkalkulert.
• @guest, forstår jeg. Men jeg tror Rusty var overmodig og frekk. Jeg ‘ Jeg er helt klar over å få denne graden vil trolig være den mest utfordrende og stressende tiden i mitt liv, men jeg vil ikke ‘ å stenge meg for det bare fordi jeg ‘ har det vanskelig med ett emne. De fleste slutter og sier at de ‘ bare ikke er matematikere når de møter en veisperring og umiddelbart stenger seg for videre matte eller fra det grunnleggende de trenger en forfriskning av. Jeg ‘ prøver å unngå det fordi jeg gjorde akkurat det tidligere år.
• @Lex_i, du høres ut som en moden student, og jeg har hatt mange studenter som deg som utmerker deg. Jeg håper eventyrene dine i matematikk gir deg glede.

Kanskje en visuell tilnærming kan supplere studiet ditt? Det er mange slike ressurser tilgjengelig på nettet, ikke i lærebøker. F.eks. Trig intuitivt :

---

         
          ^{Merk: etikettene viser hvor hvert element «går opp til . »}

---

En annen: Interaktiv enhetssirkel . En annen: Inverse utløsningsfunksjoner .

Kommentarer

• it ‘ et nyttig diagram. Jeg vil legge til en ansvarsfraskrivelse om at begrepet lignende trekanter brukes, for å forhindre forvirring.
• Jeg tror diagrammet ville være mer nyttig hvis det viste vinkelen og hva alle funksjonene er en funksjon av . Det ser ut til at det ‘ er designet for å huske det du allerede vet, ikke for å lære trig fra bunnen av.
• @JessicaB: Først, det er ikke diagrammet mitt: -). For det andre er det en fortelling som følger med den; det er ikke ment å stå alene. For det tredje synes jeg det er nyttig å se for eksempel at $ \ sin \ le \ tan $ og $ \ sec \ ge \ tan $ og $ \ tan $ kan være ubegrenset osv.
• @ JessicaB: PS. Vinkelen er vinkelen i midten av sirkelen, hvilken sirkel er dessverre nesten usynlig i øyeblikksbildet mitt.
• @JosephO ‘ Rourke Jeg vet at du ikke ‘ ikke tegne det. Og jeg vet nå at vinkelen er den i sentrum, fordi jeg vet trig. Men da jeg først kom over det, ble jeg veldig forvirret fordi jeg ikke hadde ‘ t plukket opp forholdet til vinkelen.

Jeg personlig foretrekker en lærebokanbefaling jeg kan laste ned eller hente som [helst] ikke er gammel og ikke ikke gjør trigonometri skremmende å nærme seg (spesielt en som legger vekt på å forstå bevis bak egenskaper / teoremer).

Jeg har ikke lærebøker å anbefale, men jeg kan anbefaler en tilnærming til å gjøre trigonometri som letter matematisk forståelse av det ved å krystallisere logisk grunnlag for trigonometri og algebraisk struktur av trigonometriske uttrykk. Det er to «nivåer» til dette, avhengig av om du vil gå rett til kompl eks-tall eller hold deg innenfor reell trigonometri. I begge tilfeller er fokuset på å identifisere egen kjerne av trigonometri og redusere alt annet til det.

---

Ekte trigonometri

Nøkkelmengdene er $ \ cos (t) $ og $ \ sin (t) $ , som er $ x $ og $ y $ koordinater for punktet $ P_t $ på enhetssirkelen som underkaster en bue med lengde $ t $ mot klokken fra $ x $ -aksien, som vist i bildet fra wikipedia :

Her måles buelengde langs enhetssirkelen, og $ π $ er som buelengde på halvcirkelen, så $ 2π $ er $ 360 ° $ . (Denne måten å måle vinkler kalles ofte for å måle dem i » radianer «, men jeg personlig synes det er et unødvendig begrep.) Merk at $ P_t = P_ {t + 2πk} $ for ethvert heltall $ k $ , fordi $ 2πk $ ville være et helt tallmultipel av fulle runder. Vær også oppmerksom på at økende $ t $ flytter $ P_t $ mot klokken, mens du reduserer $ t $ flytter $ P_t $ med klokken. I tilknytning til det er $ P _ {- t} $ refleksjonen av $ P_t $ over $ x $ -aks.

Merk at tegnene til $ \ cos (t) $ og $ \ sin (t) $ samsvarer nøyaktig med tegnene på $ x $ og $ y $ koordinater for punktet på sirkelen. (Ikke hør på folk som ber deg huske noe for å avgjøre hvilken av dem som er positive i hvilken kvadrant.)

Og bare per definisjon, $ \ cos ( t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2 = 1 $ for hver ekte $ t $ . Dette er algebraisk første nøkkel .

Deretter, $ \ tan (t) $ er definert som $ \ sin (t) / \ cos (t) $ . (Historisk har vi også definert $ \ sec (t): = 1 / \ cos (t) $ og $ \ csc (t): = 1 / \ sin (t) $ og $ \ cot (t): = 1 / \ tan (t) $ , men ærlig talt er det liten fordel å ha så mange når $ \ cos, \ sin $ alene er tilstrekkelig.) Når du ønsker å forenkle ethvert trigonometrisk uttrykk som involverer $ \ cos, \ sin, \ tan, \ sec, \ csc, \ cot $ , bør du sannsynligvis utføre den matematiske standardteknikken til omskriving i kanonisk form , som i dette tilfellet betyr omskriving når det gjelder $ \ cos, \ sin $ alene, mens tar oppmerksom på hvor det opprinnelige uttrykket ikke er definert (for eksempel $ 1 / \ csc (t) = \ sin (t) $ for alle reelle $ t $ bare når $ t $ ikke er et multiplum av $ π $ ).

andre viktige algebraiske fakta oppstår ved å vurdere rotasjonsmatriser som brukes på vektorer. (Hvis du ikke er kjent med matriser som operatorer på vektorer, les først dette . For en introduksjon til vektorer i euklidisk rom, se her .) La $ R $ være en hvilken som helst rotasjon om opprinnelsen i flyet. Deretter tilfredsstiller $ R $ tre egenskaper:

1. $ R (u + v) = R (u) + R (v) $ for alle vektorer $ u, v $ (dvs. å summere to vektorer og deretter rotere resultatet gir det samme som å rotere de to vektorene først før du summerer dem).
2. Hvis $ R, S $ er moturs rotasjoner av vinkler $ t, u $ henholdsvis, så er $ R∘S $ en moturs rotasjon av vinkelen $ t + u $ .
3. Hvis $ R $ er en rotasjonsvinkel mot klokken $ t $ , deretter:
   a. $ R (⟨x, 0⟩) = ⟨x · \ cos (t), x · \ sin (t)⟩ $ for alle reelle $ x $ .
   b. $ R (⟨0, y⟩) = ⟨-y · \ sin (t), y · \ cos (t)⟩ $ for alle reelle $ y $ .

Vi kan ta disse egenskapene som aksiomer (antagelse) om rotasjoner. Tross alt, hvis $ R $ ikke tilfredsstiller dem, vil vi ikke kalle $ R $ en rotasjon til starte med. For å se hvorfor, fanger eiendom (1) intuisjonen at roterende to sammenkoblede stenger vil rotere begge stengene med rotasjonsvinkelen mens de bevarer hvor de kobles sammen. Eiendom (2) er bare nødvendig i forbindelse med eiendom (3). Eiendom (3a) følger av definisjonen av $ \ cos, \ sin $ , og eiendom (3b) følger av samme definisjon rotert $ 90 ° $ mot klokken.

Egenskaper (1) og (3) gir matriseformen til en 2d-rotasjon:

Hvis $ R $ er en rotasjonsvinkel mot klokken $ t $ , deretter $ R = \ small \ pmatrix {\ cos (t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} $ .

Og deretter bruker vi egenskapen (2) vi få:

$ \ small \ pmatrix {\ cos (t + u) & – \ sin (t + u) \\ \ sin (t + u) & \ cos (t + u)} = \ pmatrix {\ cos ( t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} \ pmatrix {\ cos (u) & – \ sin (u) \\ \ sin (u) & \ cos (u)} $ for alle realer $ t, u $ .

Å multiplisere matriksproduktet til høyre og sammenligne med matrisen til venstre gir umiddelbart vinkelen- sum identiteter:

$ \ cos (t + u) = \ cos (t) · \ cos ( u) – \ sin (t) · \ sin (u) $ for alle realer $ t, u $ .

$ \ sin (t + u) = \ cos (t) · \ sin (u) + \ sin (t) · \ cos (u) $ for alle realer $ t, u $ .

Når du ønsker å forenkle uttrykk som involverer trigonometriske funksjoner på summer av vinkler, bør du vurdere å bruke disse identitetene til å redusere uttrykket som skal være i form av $ \ cos, \ sin $ med så få vinkler som mulig.

Faktisk, alle trigonometriske i odontesier som bare involverer aritmetiske operasjoner og trigonometriske funksjoner kan bevises ved hjelp av bare de ovennevnte definisjonene og viktige algebraiske fakta. Litt nysgjerrig kan til og med symmetriegenskapene bevises algebraisk som følger.

Gitt hvilken som helst reell $ t $ :

$ 1 = \ cos (t + (- t)) = \ cos (t) · \ cos (-t) – \ sin (t) · \ sin (-t) $ . [vinkelsum]

$ 0 = \ sin (t + (- t)) = \ cos (t) · \ sin (-t) + \ sin ( t) · \ cos (-t) $ . [vinkelsum]

$ \ cos (t) = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (-t) – (\ cos (t) · \ Sin (-t)) · \ sin (t) $

$ = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (- t) + (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ sin (t) $

$ = (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) · \ cos (-t) $

$ = \ cos (-t ) $ .

$ \ sin (t) = (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ cos (t ) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – (\ cos (t) · \ sin (-t)) · \ cos (t) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – \ sin (-t) · (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) $

$ = – \ sin (-t) $ .

Når vi går videre til reell analyse, trenger vi følgende fakta, som kan tas som aksiomer for nå (og begrunnes separat senere):

1. $ \ sin «= \ cos $ .
2. $ \ cos «= – \ sin $ .

Som før, alt ca. ikke reduseres til disse, så det er ikke noe reelt behov for å huske noe mer (selv om det kan være praktisk å gjøre det).

---

Kompleks trigonometri

Personlig, Jeg tror det er best å gå rett til de kompleksverdige trigonometriske funksjonene, hvis man ønsker et komplett og grundig grunnlag for det matematiske feltet analyse . Man definerer ganske enkelt: $ \ def \ rr {\ mathbb {R}} \ def \ cc {\ mathbb {C}} \ def \ lfrac # 1 # 2 {{\ large \ frac {# 1} {# 2}} $

$ \ exp (z ): = \ sum_ {k = 0} ^ ∞ \ lfrac {z ^ k} {k!} $ for hvert komplekst $ z $ (etter bevis for at summen konvergerer).

$ \ cos (z): = \ lfrac {\ exp (iz) + \ exp (-iz)} {2} $ .

$ \ sin (z): = \ lfrac {\ exp (iz) – \ exp (-iz)} {2i} $ .

$ π $ er to ganger den første positive roten til $ \ cos $ ( etter å ha bevist at den eksisterer).

Motivasjonen er at vi vil ha $ \ exp: \ cc → \ cc $ slik at $ \ exp «= \ exp $ og $ \ exp (0) = 1 $ , for å kunne løse generelle lineære differensiallikninger, og vi vil ha $ \ cos, \ sin: \ rr → \ rr $ slik at $ \ cos «» = – \ cos $ og $ \ sin «» = – \ sin $ og $ ⟨\ cos (0), \ cos «(0)⟩ = ⟨1,0⟩ $ og $ ⟨\ sin (0 ), \ sin «(0)⟩ = ⟨0,1⟩ $ , for å kunne løse enkel harmonisk bevegelse, og Taylor-utvidelse bringer oss til definisjonene ovenfor for $ \ exp, \ cos, \ sin $ , som vi kan bevise å konvergere på hele det komplekse planet. Definisjonen ovenfor av $ π $ er den enkleste jeg vet om, og som ikke er avhengig av noen geometri. (For mer informasjon om denne motivasjonen, se dette innlegget .)

Det er nok å si at med disse definisjonene kan vi bevise ved grunnleggende analyse at $ \ exp, \ cos, \ sin $ tilfredsstiller de ønskede motiverende egenskapene, samt en annen nøkkelegenskap av $ \ exp $ :

$ \ exp (z + w) = \ exp (z) · \ exp (w) $ for alle komplekse $ z, w $ .

Ved å bruke denne egenskapen kan vi bevise alle trigonometriske identiteter via algebraisk manipulering alene (og de holder for komplekse variabler og ikke bare virkelige variabler).

For eksempel gitt en hvilken som helst kompleks $ z $ :

$ \ cos (z) ^ 2 + \ sin (z) ^ 2 = \ lfrac {(\ exp (iz) + \ exp (-iz)) ^ 2} {4} – \ lfrac {(\ exp (iz) – \ exp (-iz)) ^ 2} {4} $

$ = \ exp (iz) · \ exp (-iz) = \ exp (0) = 1 $ .

Likevel er det ofte lettere å først bevise de samme viktige algebraiske fakta for $ \ cos, \ sin $ og bruk dem til å bevise andre identiteter, enn å redusere alt til $ \ exp $ .

Kommentarer

• For ytterligere matematisk henvendelse, er du velkommen til dette chatterommet .

Gjør Saylor Academy eller edX har du noe som vil hjelpe deg? De er begge gratis plattformer med matematikkurs. Saylor Academy bruker nesten utelukkende en lærebok – du kan faktisk få kreditt gjennom dem. Modernstates.org kan også hjelpe deg – de har et selvstyrt kurs med videoer for å lære det. Rootmath kan også være en god ressurs. Planlegger du å få kreditt for dette kurset gjennom Clep?