Betydningen av Fock Space

Anta at du har et system beskrevet av et Hilbert-mellomrom $ H $ , for eksempel en enkelt partikkel. Hilbert-rommet til to ikke-interagerende partikler av samme type som beskrevet av $ H $ er ganske enkelt tensorproduktet

$$ H ^ 2: = H \ otimes H $$

Mer generelt, for et system med $ N $ partikler som ovenfor, Hilbert-rommet er

$$ H ^ N: = \ underbrace {H \ otimes \ cdots \ otimes H} _ {N \ text {times}}, $$

med $ H ^ 0 $ definert som $ \ mathbb C $ (dvs. feltet underliggende $ H $ ).

I QFT er det operatører som fletter de forskjellige $ H ^ N $ s, det vil si skape og tilintetgjøre partikler. Typiske eksempler er opprettelses- og utslettingsoperatørene $ a ^ * $ og $ a $ . I stedet for å definere dem når det gjelder deres handling på hvert par $ H ^ N $ og $ H ^ M $ , får man gi en " omfattende " definisjon på det større Hilbert-rommet definert ved å ta den direkte summen av alle -partikkelrom, nemlig

$$ \ Gamma (H): = \ mathbb C \ oplus H \ oplus H ^ 2 \ oplus \ cdots \ oplus H ^ N \ oplus \ cdots, $$

kjent som Fock Hilbert-rommet til $ H $ og noen ganger også betegnet som $ e ^ H $ .

Fra et fysisk synspunkt er den generelle definisjonen ovenfor av Fock space uvesentlig. Det er kjent at identiske partikler observerer en bestemt (para) statistikk som vil redusere det faktiske Hilbert-rommet (ved symmetrisering / antisymmetrisering for det bosoniske / fermioniske tilfellet osv …).

Kommentarer

• Fantastisk svar! Jeg skulle ønske de skrev QFT-lærebøkene slik.

Flotte svar, men bare for fullstendighet, kanskje det vil være illustrerende for å ha et eksempel.

Anta at $ H ^ 1 $ inneholder noen enkeltpartikkeltilstander $ | a \ rangle $, $ | b \ rangle $ osv. Fock-rommet fjerner begrensningen på å være en enkelt partikkel, og består av $ H ^ 0 $ (som er 1-dimensjonal), $ H ^ 1 $, $ H ^ 2 = H \ otimes H $, etc. Dette tillater tilstander som

• vakuumtilstanden, la oss kalle det tomme ket $ | \ rangle $,
• alle enkeltpartikkeltilstander, $ | a \ rangle, | b \ rangle, \ ldots $,
• alle to-partikkel-tilstander, $ | aa \ rangle, | ab \ rangle, | ba \ rangle, \ ldots $ (NB at denne konstruksjonen anser dem som skiller seg),

men viktigst av alt

• enhver superposisjon av ovennevnte , som $ \ frac {e ^ {i \ pi / 4 }} {\ sqrt2} | \ rangle + \ frac12 | a \ rangle – \ frac12 | aab \ rangle \ otimes \ left (\ frac1 {\ sqrt2} | a \ rangle + \ frac i {\ sqrt2} | b \ rangle \ høyre) $.

Dette rommet er iboende uendelig dimensjonalt selv om du begynner med noe lite som en qubit. Hvis du vil forestille deg resultatet ved hjelp av et grunnlag, kan du bare sammenkalle lister over grunntilstandene til alle komponentene:

$$ \ {| \ rangle, | 0 \ rangle, | 1 \ rangle, | 00 \ rangle, | 01 \ rangle, | 10 \ rangle, | 11 \ rangle, | 000 \ rangle, | 001 \ rangle, \ ldots \} $$

I mest trivielle innstillingen av enkeltpartikkelen har egentlig ikke noen forskjellige tilstander, så $ H ^ 1 $ er 1-dimensjonal. Det er fortsatt fornuftig å velge en fidusiell tilstand $ | {} \ circ {} \ rangle \ i H ^ 1 $ og konstruere Fock-rommet med basis

$$ \ {| \ rangle =: | | 0 \ rangle, | {} \ circ {} \ rangle =: | 1 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 2 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 3 \ rangle, \ ldots \}, $$

et eksempel på en tilstand kan for eksempel være en sammenhengende tilstand

$$ | \ alpha \ rangle = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ alpha ^ n} {\ sqrt {e ^ {| \ alpha | ^ 2} n!}} | n \ rangle $$

og du har et fint eksempel på hvorfor folk kan snakke om eksitasjoner som om «fononer» i en harmonisk oscillator, selv om det bare er en enkelt partikkel som svinger!

Ja, det gjør det. Du bygger et «stort» Hilbert-rom fra de «små», hvis du vil.