Jeg vil gå gjennom avledningen av frekvensrepresentasjonen til et impulstog.
Definisjonen av impulstogfunksjonen med perioden $ T $ og frekvensrepresentasjonen med samplingsfrekvens $ \ Omega_s = 2 \ pi / T $ som jeg ønsker å utlede er:
\ begin {align *} s ( t) & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t – nT) \\ S (j \ Omega) & = \ frac {2 \ pi} {T} \ sum \ limits_ {k = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (\ Omega – k \ Omega_s) \\ \ end { juster *}
Ved å bruke den eksponentielle Fourier-serierepresentasjonen av impulsfunksjonen og bruke Fourier-transformasjonen derfra, blir det:
\ begin {align *} s (t) & = \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} \\ S (j \ Omega ) & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty s (t) e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ int _ {- \ i nfty} ^ \ infty \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ frac {1} {T} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ sum \ limits_ {k = – \ infty} ^ { \ infty} e ^ {- j (k \ Omega_s + \ Omega) t} dt \\ \ end {align *}
For å komme derfra til sluttresultatet, ser det ut til at integrasjonen ville må være over en periode på $ 2 \ pi $. Der $ \ Omega = -k \ Omega_s $, eksponenten ville være $ e ^ 0 $ og integrere til $ 2 \ pi $ og for andre verdier på $ \ Omega $, ville det være en full sinusbølge som ville integreres til null. Imidlertid er integrasjonsgrensene negativ uendelig til positiv uendelig. Kan noen forklare dette? Takk!
Svar
Du har riktig funnet ut at de forekommende integralene ikke konvergerer i konvensjonell forstand. Den enkleste (og definitivt ikke streng) måte å se resultatet på er å merke Fourier-transformasjonsforholdet
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega) $$
Ved å skifte / modulasjonsegenskap vi har
$$ e ^ {j \ Omega_0t} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega- \ Omega_0) $$
Så hvert begrep $ e ^ { jn \ Omega_s t} $ i Fourier-serien forvandles til $ 2 \ pi \ delta (\ Omega-n \ Omega_s) $, og resultatet følger.
Kommentarer
- Dette er perfekt og mye enklere enn jeg gjorde det. Tusen takk !!!
- Det andre svaret var også riktig. Jeg byttet det aksepterte.
Svar
@MattL foreslo en fin, enkel måte å se resultatet ovenfor på.
Men hvis Hvis du vil se resultatet i de normale analyseligningene du nevnte, kan du gjøre som nedenfor.
Si at S (t) er et periodisk tog av impulser. Så S (t) kan skrives som
$$ \ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty } ^ {\ infty} \ delta (t-nT) $$
Hvis du nå tar firierserien av S (t), kan du skrive S (t) som
$$ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} C_ke ^ {jnw_ot} $$
Hvor $ C_n $ er eksponensielle Fourier-seriekoeffisienter og $ w_o $ er grunnleggende frekvens.
Så fra eksponentiell fourier-serie vet vi at
$$ C_n = (1 / T) \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} S ( t) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Erstatt verdien av S (t) i det ovennevnte uttrykket fra det første uttrykket.
Så $$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ delta (t-nT) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Nå må du gjøre en observasjon. Hvis du observerer integralet, er det fra -T / 2 til + T / 2. I løpet av denne integralperioden, observer at bare en enkelt impuls $ \ delta (t) $ eksisterer. Alle de andre impulsfunksjonene i summeringen skjer etter T / 2 eller før -T / 2. Så totalt sett kan ovenstående ligning for $ C_n $ skrives som
$$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t) e ^ {- jnw_ot} $$
Fra sikting av eiendom kan vi skrive ovennevnte som
$$ C_n = (1 / T) e ^ {- jw_on (0)} = ( 1 / T) $$
Sett nå denne verdien på $ C_n $ i den første S (t) ligningen
$$ S (t) = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {jnw_ot} $$
Finn nå firiertransformasjonen av ligningen ovenfor
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w) $$
$$ e ^ {jw_ot} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w-w_o) $$
Så Fourier transform er $$ S (jw ) = (2 \ pi / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (w-nw_o) $$
Dette skal hjelpe.