I dette svaret, skriver Jim Clay:
… bruk det faktum at $ \ mathcal F \ {\ cos (x) \} = \ frac {\ delta (w – 1) + \ delta (w + 1)} {2} $ …
Uttrykket ovenfor er ikke for forskjellig fra $ \ mathcal F \ {{ \ cos (2 \ pi f_0t) \} = \ frac {1} {2} (\ delta (f-f_0) + \ delta (f + f_0))} $.
Jeg har prøvd for å oppnå det senere uttrykket ved å bruke standarddefinisjonen av Fourier-transformasjonen $ X (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt $ men alle Jeg ender opp med er et uttrykk så forskjellig fra det som tilsynelatende er svaret.
Her er arbeidet mitt:
\ begin {align} x (t) & = \ cos (2 \ pi f_0t) \\ \ Longrightarrow \ mathcal F \ left \ {x (t) \ right \} & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ cos (2 \ pi f_0t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac 12 \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} + e ^ {j 2 \ pi f_0t} \ right) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ { + \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} + e ^ {j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} \ høyre) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t \ left (f_0 + f \ høyre)} + e ^ {- j2 \ pi t \ venstre (f-f_0 \ høyre)} \ høyre) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f_0 + f)} \ right) dt + \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f-f_0)} \ høyre) \ høyre) dt \ end {align}
Det er her jeg sitter fast.
Svar
Arbeidet ditt er OK, bortsett fra problemet med at Fourier-transformasjonen av $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ ikke eksisterer i vanlig følelse av en funksjon på $ f $, og vi må utvide forestillingen til å omfatte det som kalles distribusjoner, eller impulser, eller Dirac deltaer, eller (som vi ingeniører ikke pleier å gjøre, mye for matematikkens avsky) delta funksjoner. Les om forholdene som må oppfylles for Fourier-transformasjonen $ X (f) $ av signalet $ x (t) $ for å eksistere (i vanlig forstand), og du vil se at $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ ikke har en Fourier-transformasjon i vanlig forstand.
Når du forstår det spesifikke spørsmålet ditt, når du først forstår at impulser bare er definert i form av hvordan de oppfører seg som integrander i en integral, det vil si for $ a < x_0 < b $, $$ \ int_ {a} ^ {b} \ delta (x-x_0) g (x) \, \ mathrm dx = g ( x_0) $$ forutsatt at $ g (x) $ er kontinuerlig på $ x_0 $, så er det lettere å utlede Fourier-transformasjonen av $$ \ cos (2 \ pi f_0 t) = \ left . \ left. \ frac {1} {2} \ right [e ^ {j2 \ pi f_0 t} + e ^ {- j2 \ pi f_0 t} \ right] $$ ved å tenke på det faktum at $$ \ int_ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (f-f_0) e ^ {j2 \ pi ft} \, \ mathrm df = e ^ {j2 \ pi f_0t} $$ og så må det være at $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ er invers Fouriertransformasjonen av $ \ displaystyle \ left. \ left. \ frac {1} {2} \ right [\ delta (f-f_0) + \ delta ( f + f_0) \ right] $.
Svar
Deretter Bare bruk en tabell med Fourier transform-par for å se at $ \ delta (t) \ leftrightarrow 1 $, og variabel erstatning ($ f_1 = f + f_0 $ og $ f_2 = f-f_0 $), for å få det du trenger.
Kommentarer
- Hvilket selvfølgelig ber spørsmålet om hvordan personen som skrev ned tabellen kom opp med svaret som er i tabellen.
- @DilipSarwate 🙂 Nå stiller du ' et mye, mye vanskeligere spørsmål. 🙂
- Se svaret mitt for en versjon av svaret på det mye vanskeligere spørsmålet som kan passere mønster på denne stackexchange hvis ikke på matematikk. SE!
- @DilipSarwate: du ' har allerede fått +1. Takk, hyggelig svar. Avtalt matematikk. SE-dudes ville være forferdet. Det er OK, vi ' er ingeniører. 🙂
- dsp.stackexchange.com/questions/14990/…