La oss si at på en eller annen måte $ 100 (1- \ alpha) \% $ konfidensintervall av populasjonen betyr $ \ mu $ er kjent som $ (a, b) $ og antall prøver er $ n $ . Er det mulig å utlede punktestimater av populasjonsgjennomsnitt og populasjonsvarians fra denne informasjonen? I dette tilfellet er antagelsen at befolkningen følger normalfordeling.
En idé er at fordi konfidensintervall for populasjonsmiddel kan beregnes hvis vi vet at eksempler betyr $ \ overline {x} $ og populasjonsvarians $ \ sigma ^ {2} $ : $$ \ overline {x} -z _ {\ alpha / 2} \ frac { \ sigma} {\ sqrt {n}} \ leq \ mu \ leq \ overline {x} + z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {\ sqrt {n}} $$ , vi kan angi $ a = \ overline {x} -z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {n} $ , $ b = \ overline {x} + z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {n} $ og løse $ \ overline {x} $ og $ \ sigma $ . Sikkert, i dette tilfellet kan $ \ overline {x} $ behandles som poengestimering av befolkningens gjennomsnitt. Hva med $ \ sigma ^ {2} $ ? Er dette «sann» populasjonsavvik, eller er dette bare «poengestimat» av populasjonsvarians? Jeg er veldig forvirret over hvordan $ \ sigma ^ {2} $ skal tolkes i dette tilfellet.
Svar
Du kan utlede $ \ bar {x} $ og $ \ sigma ^ 2 $ som genererte det konfidensintervallet, ja. Å vite eksemplets størrelse og $ \ alpha $ -nivå er imidlertid avgjørende, og du kan ikke løse problemet uten den informasjonen.
Z- basert konfidensintervall innebærer en kjent varians som brukes til å beregne konfidensintervallet, så når du bruker bredden for å løse varians, løser du den sanne variansen $ \ sigma ^ 2 $ , ikke et estimat $ s ^ 2 $ . Hvis konfidensintervallet er t-basert, vil du løse $ s ^ 2 $ .
Bredden på en z-basert konfidens intervallet avhenger ikke av dataene, siden du vet populasjonsvariansen. Når du kjenner en parameter, gidder du ikke å estimere den.
Kommentarer
- Hvis jeg forsto godt, ville svaret avhenge av om konfidensintervallet ble avledet av z-basert metode eller t-basert metode. Takk for svaret.
- Det kommer inn på hvorfor vi bruker z-baserte intervaller og t-baserte konfidensintervaller. Hvis vi vet populasjonsvariansen, vi ' t bryr oss med t-baserte konfidensintervaller, og det z-baserte intervallet har bredden bestemt av $ \ sigma ^ 2 / 2 $. Når vi ikke ' ikke kjenner populasjonsvariansen (stort sett alltid), estimerer vi populasjonsvariansen med $ s ^ 2 $ og bruker t-baserte konfidensintervaller for å ta hensyn til usikkerheten rundt estimatet (dvs. redegjør for at vårt estimat kan være et dårlig estimat).