Enheter i gravitasjonskonstant

Vel, måten for å finne enhetene til konstanten er å vurdere ligningen den tar del i:

$$ F = G \ frac {m_1 m_2} {r ^ 2} $$

$ F $ er en kraft: så den måles i newton ($ \ operatorname {N} $). En newton er den kraften som kreves for å gi et kilo en akselerasjon på en meter per sekund per sekund: så, i SI-enheter er enhetene $ \ operatorname {kg} \ operatorname {m} / \ operatorname {s} ^ 2 $. $ m_1 $ og $ m_2 $ er masser: i SI-enheter måles de i kilogram, $ \ operatorname {kg} $, og $ r $ er en lengde: den måles i meter, $ \ operatorname {m} $.

Så igjen, i SI-enheter kan vi skrive om det ovennevnte som noe som

$$ \ phi \ operatorname {N} = \ phi \ operatorname {kg} \ operatorname {m} / \ operatorname {s} ^ 2 = G \ frac {\ mu_1 \ mu_2} {\ rho ^ 2} \ frac {\ operatorname {kg} ^ 2} {\ operatorname {m} ^ 2} $$

hvor $ \ phi $, $ \ mu_1 $, $ \ mu_2 $ og $ \ rho $ er rene tall (de er de numeriske verdiene til de forskjellige mengdene i SI-enheter). Så vi må få dimensjonene til dette for å være fornuftig, og bare å gjøre dette, er det tydelig at

$$ G = \ gamma \ frac {\ operatorname {m} ^ 3} {\ operatorname {kg} \ operatorname {s} ^ 2} $$

hvor $ \ gamma $ er et rent tall, og er den numeriske verdien på $ G $ i SI-enheter.

Alternativt hvis vi setter newtoner på LHS vi får

$$ G = \ gamma \ frac {\ operatorname {N} \ operatorname {m} ^ 2} {\ operatorname {kg ^ 2}} $$

For å svare på dette må vi ta en titt på ligningen $ F_g = Gm_1m_2 / d ^ 2 $.Så hvis G måles i $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 $, og massen måles i kg og avstanden måles i m, så måles kraften med $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 \ cdot kg ^ 2 / m ^ 2 $, som forenkler til $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $

Og nå for å definere $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $ kan instinktene dine være å dele den opp i $ \ rm m / s ^ 2 $ og kg. Hvis $ \ rm m / s ^ 2 $ er en akselerasjonsenhet og kg er en masseenhet, må kraften være mass ganger akselerasjon. Dette er beskrevet av Sir Issac Newton PRS «andre bevegelseslov beskriver:

$ F = ma $

Så det er fornuftig at gravitasjonskonstanten G måles i $ \ rm m ^ 3 / kg ^ 1 ~ s ^ 2 $.

Kommentarer

• Ikke sikker på at » PRS » er nødvendig for å beskrive Newton

Det er et problem.

Konstanter viser til rene tall, så det er morsomt at en konstant skal ha måleenheter.

Det er et passende problem. Du finner, eller antar at noe avhenger av noe annet, proporsjonalt som når x går fra 3 til 4, y går fra 6 til 8, (så y = 2 * x hvor 2 er en konstant) eller omvendt proporsjonal (y = x / 2), så når du er fornøyd med at du fant alt som kan påvirke det noe, har du ganske mye ligningen din, som y = a x ^ 2 + bx + c den enkle kvadratiske i en dimensjon eller noe som w = x y.

Det siste trinnet er å legge til konstanter slik at tallene, resultatene stemmer overens.

Men hvis enhetene dine ikke samsvarer med dine målenhetsprinsipper, har du et problem. Du vil ofre for dette hvis konstanten din holder, selv om den har enheter, men kanskje være klar over at det er mer i ligningen enn denne forenklingen, eller selvfølgelig at din opprinnelige idé om måleenheter har en feil. omdefinere de første prinsippene dine, dvs. at hastigheten ikke er meter / sekunder, så la den være ute for nå.

Gravitasjonsligningen i denne formen er også veldig lik Coulombs lov, for lik faktisk, begge er for det meste guider å si at kraften er proporsjonal med massene til objektene og omvendt proporsjonal med kvadratet til avstanden deres (i tyngdekraftens tilfelle)

Du får pene firkanter med gravitasjonskraften, dvs. (kg / m) 2, så hvis det hele er kvadrat, kan du lure på hva kg / m er.

For eksempel: Kvadrater vises når du er addi ng ting gjennom integrering, integrerer et annet fint matematisk konsept som imidlertid, i det minste grafisk, er en tilnærming.

Så vi sier at hvis y = x ^ 2 så dy / dx = 2x og integrasjon er det motsatte av differensiering , ved å bruke notasjonen «Integral of x» som I (x), så I (2x) = 2 * (x ^ 2) / 2 + K (vi legger alltid til en konstant i integrasjonen for den manglende delen.

Så kanskje (gravitasjonskraften) er f = I (noe) slik at den ender i kvadrat.

Force er et morsomt dyr. Du har ting som impulser som du har ting som energi, arbeid og kraft, alle sammen begreper i fysikk, koblet sammen. For eksempel iirc arbeid = kraft * tid, men det er bare sunn fornuft å snakke så jeg vil stoppe her.

Lagt til:

For å begynne å tenke på kg / m og hva det er, en ting som dukket opp i tankene, disse to er koblet sammen når noe reiser en distanse, hvordan avhenger avstanden på messen? Vel, absolutt når du fikk friksjon, er massen viktig. Du kan også tenke på tetthet, som er masse / volum.

Så F ~ volum ^ 2 og kanskje F = volum noe, som bringer det tilbake til kg m / s ^ 2. noe som i det oppfattelige lokale er stabilt, konstant. Vær oppmerksom på at hvis F = I (x) og den har m / s ^ 2 i seg, er det en integrert sammenheng mellom hastighet og akselerasjon (s = v t + a t / 2) hvor s er avstand, v er hastighet, a er akselerasjon og t tid. Husk at integrering også er subjektiv, du integrerer over noe, så hvis w = x y og både x og y er variabler, kan du integrere w over x og du kan integrere w over y. Disse er / (kan være) additiv forutsatt at de er uavhengige coz hvis y = f (x) kan du gå til enkelt variabel w = x f (x) => w = g (x)

Siden dette spørsmålet hadde 46K (!) visninger, kan det være nyttig å legge til et svar selv etter 4 år.

$ G $ er en eksperimentell konstant som kreves for å matche Newtons potensielle energi for å eksperimentere. Newtons potensielle energi er $$ E_P = – \ frac {GM m} {r} ~. $$ Dividende etter energien $ mc ^ 2 $ får du det dimensjonsløse potensialet $$ V = – \ frac {GM} {c ^ 2r} ~. $ $ Siden $ V $ er dimensjonsløs $ GM / c ^ 2 $ er en lengde. Denne lengden tolkes som halv radius av et svart hull med masse M, $ r_M / 2 $ . G har dimensjon $ m ^ 3 kg ^ {- 1} s ^ {- 2} $ .Du kan derfor også skrive det dimensjonsløse potensialet som $$ V = r_M / 2r $$ der den eneste konstanten er en lengde med en klar om enn eksotisk tolkning.

Den mest direkte tolkningen – en som overskrider paradigmaskillet mellom relativistisk og ikke-relativistisk fysikk, og er koblet til Raychaudhuri-ligningen, er det når det gjelder volumkontraksjon.

En sky som omgir en kropp med masse $ M $ , hvis bestanddeler alle er i radiell bevegelse, har et volum som som en funksjon av tiden $ V (t) $ tilfredsstiller ligningen $$ \ frac {d²V} {dt² } – \ frac {2} {3V} \ left (\ frac {dV} {dt} \ right) ^ 2 = -4πGM. $$ Hvis det i utgangspunktet er stille, så er den første akselerasjonen av volumet under tyngdekraften er $ – 4πGM $ , det negative indikerer at den begynner å trekke seg sammen.

Så enhetene for $ GM $ er kubikkmeter per sekund, per sekund.

Generaliseringen av dette til en $ n + 1 $ dimensjonal romtid er $$ \ frac {d ^ 2V} {dt ^ 2} – \ frac {n -1} {nV} \ left (\ frac {dV} {dt} \ right) ^ ² = -n \ frac {π ^ {n / 2}} {(n / 2)!} G_n M, $$ ved hjelp av konvensjonen $ (- 1/2)! = \ sqrt {π} $ , der $ G_n $ er $ n $ – dimensjonal versjon av Newton-koeffisienten; hvis enheter vil være meterⁿ / (sekund² kilo).