Hva er en enkel bare-bein beskrivelse av utvekslingsinteraksjon mellom to elektroner?
For eksempel virker det for meg at den eneste nødvendige ingredienser er Coulomb-interaksjonen og kravet om at den totale bølgefunksjonen skal være antisymmetrisk.
Kommentarer
- Din intuisjon er riktig. En matematisk beskrivelse av hvordan disse to ingrediensene konspirerer for å skape utvekslingsinteraksjoner finnes i Ashcroft & Mermin (kapittel 32) [dette er en ganske standard beregning og jeg ' er sikker på at det også vises mange andre steder]
- Det er også i Griffiths intro quantum lærebok. Et eller annet sted.
- Det har ikke noe med Coulomb-styrken å gjøre, det vil også være et utvekslingssamspill mellom to uladede men ikke-skillebare bosoner.
Svar
Utvekslingsinteraksjon er et tillegg til andre interaksjoner mellom identiske partikler forårsaket av permutasjonssymmetri.
Denne tilsetningen er et resultat av spesifikk form for flerpartikkel bølgefunksjon. Det gir ikke noe bidrag til Hamiltonian i motsetning til «vanlige» interaksjoner, men fremstår som et tilleggsbegrep i ligninger for enkelt -partikkelbølgefunksjoner (f.eks. Hartree-Fock-ligning).
Interaksjon vanligvis assosiert med energi og krefter. Vi kunne finne utvekslingskorreksjonen som en kraft lagt til Coulomb-kreftene, men vi bør først forstå hva som er kraft i kvantesystemet.
La oss se på to fermioner med koordinatbølgefunksjoner med en partikkel $ $ psi_a x) $ og $ \ psi_b (x) $ og spinnbølgefunksjoner $ \ phi_a (s) $ og $ \ phi_b (s) $. De mulige to-partikkelbølgefunksjonene er singlet med symmetrisk koordinatdel $$ \ Psi_S (x_1 , x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) + \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$ og triplett med antisymmetrisk koordinat del $$ \ Psi_A (x_1, x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) – \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$
La topartikkelen Hamilton ikke avhenge av spinn: $$ \ hat {H} = \ frac {\ hat {\ mathbf {p}} _ 1 + \ hat {\ mathbf {p }} _ 2} {2m} + V (x_1, x_2) $$ så vil den gjennomsnittlige energien til interaksjonen være: $$ U_S = \ left < \ Psi_S \ right | V \ left | \ Psi_S \ right > = U + U_ \ text {ex} $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ høyre | V \ venstre | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ høyre > + \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$ $ $ U_A = \ left < \ Psi_A \ right | V \ left | \ Psi_A \ right > = U – U_ \ text {ex } $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right > – \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$
Begrepet $ U_ \ text {ex} $ er ikke null bare hvis partiklene er nær nok til hverandre og deres bølgefunksjoner overlapper hverandre (se bildet nedenfor). I klassisk grense når avstanden $ L $ er stor, er overlappingen null og $ U_S = U_A = U $
La oss anta at $ \ psi_a $ og $ \ psi_b $ ikke er negative overalt hvor $ V $ fungerer som Coulomb-interaksjon (dvs. positiv og avtar når avstanden øker). Deretter $ U $ og $ U_ \ tekst { ex} $ er positive og energien til symmetrisk koordinattilstand (motsatte pigger) er høyere enn energien til antisymmetrisk koordinattilstand (lignende pigger). Hvis gjennomsnittsposisjonene til partiklene er faste, vil utvekslingsinteraksjonen sette spinnene i samme retning.
Interaksjonskraften mellom partiklene kan defineres som den generaliserte kraften som tilsvarer parameteren L: $$ F = – \ frac {\ partial U} {\ partial L} $$ Innenfor våre antagelser om $ \ psi_a $, $ \ psi_b $ og $ V $ derivatet av både $ U $ og $ U_ \ text {ex} $ er negativ. Derfor er den «vanlige» kraften positiv (frastøting) og vekslingskraften er positiv for symmetriske koordinater s tate og negativ for antisymmetrisk koordinattilstand (tiltrekning).
Så utvekslingsinteraksjonen for tilfellet to partikler kan betraktes som ekstra kraft avhengig av spinnkonfigurasjon. For flere partikler er dette mer komplisert.
Kommentarer
- Hei, hvordan forstå den effektive kraften til vekslingsinteraksjon for Fermion er attraktiv? Veldig motstridende.