Enkelt sagt: hva er implikasjonene av homotetiske og ikke-homotetiske forbrukerpreferanser?

Fra et matematisk synspunkt, hvis funksjonen $ f (x, y) $ er homogen (av hvilken som helst grad), og $ g ( ) $ er en funksjon hvis første derivat er overalt ikke-null, deretter funksjonen

$$ H (x, y) = g [f (x, y)] $$

er homotetisk. I økonomi pålegger vi vanligvis noe mer begrensende, nemlig at $ g «> 0 $. Men dette gjør en homotetisk funksjon til en monoton transformasjon av en homogen funksjon. Nå er homogene funksjoner en streng delmengde av homotetiske funksjoner: ikke alle homotetiske funksjoner er homogene.

Derfor ikke alle monotone transformasjoner bevarer homogenitetsegenskapene til en verktøyfunksjon . Det enkleste eksemplet er Cobb-Douglas-verktøyet. Det er homogent av grad en. I et ordinært verktøyrammeverk er vi ok med monotone transformasjoner, så vi kan vurdere den naturlige logaritmen til den. Fin, men den naturlige logaritmen vil ikke bevare homogenitet. Likevel vil det være homotetisk.

Den grunnleggende egenskapen til en homotetisk funksjon er at dens ekspansjonsvei er lineær (dette er også en egenskap for homogene funksjoner, og heldigvis viser det seg å være en egenskap for den mer generelle klassen av homotetiske funksjoner).

I forbruksteorien betyr dette at å holde prisene eller prisforholdet konstant, hvis vi varierer inntekten til forbrukeren, i $ (x, y) $ -planet tangenspunktet til inntektsbegrensningen med den høyeste mulige likegyldighetskurven vil alltid gjenspeile et fast forhold $ x / y $. Dette innebærer igjen at utgiftene til hver vare vokser alt i samme hastighet som inntekten, og derfor forblir utgiftsandeler konstant i hele inntektsområdet (alltid for et gitt prisforhold). Selv om dette kan høres begrensende, har faktisk vist at homotetiske preferanser ikke pålegger samlet etterspørsel (hovedsakelig på grunn av at begavelsesvektoren er vilkårlig og uavhengig av preferanser, som ødelegger eller frigjør ting).

Kommentarer

• Stor respons. Kan du utvide din siste setning, der du nevner at homotetiske preferanser ikke pålegger AD noen spesiell begrensning. Med liten kunnskap om temaet ser det ut til at det å anta homotiske preferanser strider mot det empiriske beviset fra Engel ' s lov eller at inntektens elastisitet i etterspørselen varierer på tvers av varer. Ved å se bort fra dette beviset, ville vi ' ikke påvirke en rimelig konstruksjon av AD?
• @StatsScared Takk. Du har lagt ut et spørsmål om saken, economics.stackexchange.com/q/10629/61 , som allerede har generert interessante svar. Hvis jeg har noe å legge til, vil jeg legge det ut der.