Feynman-Kac-setningen sier at for en Ito-prosess av formen $$ dX_t = \ mu (t, X_t) dt + \ sigma (t , X_t) dW_t $$ det er en målbar funksjon $ g $ slik at $$ g_t (t, x) + g_x (t, x) \ mu (t, x) + \ frac {1} {2} g_ {xx } (t, x) \ sigma (t, x) ^ 2 = 0 $$ med en passende grensebetingelse $ h $: $ g (T, x) = h (x) $. Vi vet også at $ g (t, x) $ har formen $$ g (t, x) = \ mathbb {E} \ left [h (X_T) \ big | X_t = x \ right]. $$
Dette betyr at jeg kan prise et alternativ med utbetalingsfunksjon $ h (x) $ til $ T $ ved å løse differensiallikningen uten hensyn til den stokastiske prosessen.
Er det en intuitiv forklaring på hvordan det er mulig å modellere stokastisk oppførsel til Ito-prosessen ved en differensialligning, selv om differensiallikningen ikke har en stokastisk komponent?
Kommentarer
- Innenfor forventningen, bør du ikke ‘ t setter du $ h (X_T) $ i stedet for $ h (X_t) $ ?
Svar
Martingales + Markovian
Her er motivasjonen. Betingede forventninger er martingaler av tårnegenskapen med betingede forventninger (en enkel øvelse å vise). Anta at $ r = 0 $, med risikonøytral prissetning $ E ^ \ star \ left [h (X_T) \ bigg | \ mathscr {F} _t, \, X_t = x \ right] $ er prisen på et derivat sikkerhet med $ X $ som underliggende aktiva og utbetalingsfunksjon $ h $ forutsatt for øyeblikket at den underliggende sikkerheten og derivatet ikke betaler noen mellomliggende kontantstrømmer. I en Markovian-setting må det være slik at derivatprisen er en målbar funksjon av gjeldende aktivakurs og bare løpetid, si en funksjon $ g (t, x) $. Deretter, av Itos lemma $ d (g (t, x)) = \ ldots $. Fordi $ g $ er en (forskyvet) martingale, må driftstiden være lik null . grensevilkår kommer fra ingen arbitrage, se dette ved å legge merke til hva som er $ g (T, x) $ fra definisjonen gitt først (husk målbarhet når du tar betinget forventning).
Kommentarer
- Takk. Hva er $ \ mathscr {F} _t $?
- Det er en sigma-algebra fra en filtrering. no.wikipedia.org/wiki/Filtration_(matematics)
- @ user25064 – det komplimenterer svaret mitt ganske bra +1
- @Raphael – bare tenk på $ \ mathscr F_t $ som informasjonen frem til tiden $ t $. Den vertikale linjen leser » gitt » slik at når du skriver den forventningen noe før den tiden tar du ‘ ikke forventning i det hele tatt, og det kan komme utenfor samme måte som en konstant ville. Som $ E [X_ {t- \ epsilon} | \ mathscr F_t ] = X_ {t- \ eps ilon} $. Det er en relativt god forklaring på betinget forventning i denne boka.
Svar
Feynman-Kac-teoremet er først og fremst fornuftig i en prissammenheng. Hvis du vet at en eller annen funksjon løser Feynman-Kac-ligningen, kan du representere den som en forventning med hensyn til prosessen. ( gi dette dokumentet )
På den annen side løser en prisingsfunksjon FK-PDE. Dermed ville man ofte prøve å løse PDE for å få en lukket formprisingsformel. ( gi dette dokument som begynner med side 22 )
Du vil ikke bruke Feynman-Kac til å simulere en stokastisk prosess. På den annen side kan du bruke en stokastisk prosess for å finne en løsning på FK-PDE ( se her )
Rediger 26.02.2014: Jeg fant et dokument som prøver å forklare sammenhengen mellom overgangstettheten og FK-PD ( se her fra og med side 5 )
Det er også en forbindelse mellom FK-formelen og Sturm-Liouville-ligningene som kan brukes til nedbrytningen av Brownian stier. ( se denne artikkelen )
Kommentarer
- Takk for lenkene! Innlegget ditt forklarer flere applikasjoner og bruksområder for Feynman-Kac-teoremet. Min hovedinteresse på dette punktet er å forstå hvorfor teoremet er sant, dvs. intuisjonen bak teoremet.
- Jeg vil foreslå beviset her: no. wikipedia.org/wiki/Feynman%E2%80%93Kac_formula Å lese bevis hjelper ofte til å forstå hvordan en teorem blir til. Eller er du interessert i en forklaring fra et Phyiscs-synspunkt?
Svar
Slik jeg tenker på det er at PDE beskriver flyten av en tidsavhengig sannsynlighetsfordeling. Den stokastiske prosessen beskriver individuelle erkjennelser (tilfeldige turer med drift), men hvis du kjørte et stort antall av dem, ville du bygge opp en fordeling.
PDE sier hvordan den fordelingen endrer seg i tid (første periode) på grunn av deterministisk drift (andre periode) og diffusjon (tredje periode, som er koblingen mellom «mange tilfeldige vandrere» og spredningen sannsynlighetsfordeling som beskriver hvor langt de har kommet i gjennomsnitt. Vanligvis starter sannsynlighetsfordelingen som en delta-funksjon på grunn av den kjente starttilstanden.
Kommentarer
- Jeg er litt forvirret. Vi har PDE for prisingsfunksjonen $ g (t, x) $ bortsett fra drift og volatilitet, det er ikke mye informasjon du kan hente fra FK-PDE med hensyn til fordelingen
Svar
La oss nærme oss dette svaret i to trinn.
Først, Jeg synes det er ganske intuitivt at det for en gitt stokastisk PDE eksisterer en deterministisk PDE som utvikler tettheten til et senere tidspunkt. Denne ligningen er den fremre Kolmogorov- eller Fokker-Plank-ligningen. Hvorfor er det intuitivt? Man kjenner også den fremtidige fordelingen av en bruniansk bevegelse (per definisjon). Hvorfor skulle dette endre seg for et mer komplekst stokastisk begrep?
For det andre, når du først har fått frem ligningen, er det et spørsmål om matematikk å også utlede en omvendt versjon av den. Dette er Feynman-Kac-ligningen, og den forplanter en fordeling bakover i tid.