Kommentarer
- Tiden er uendelig – dvs. det fallende objektet ' s hastighet er aldri nøyaktig like rask som terminalhastigheten. Hvis du vil vite hvor lang tid det tar å si 99% av terminalhastigheten, er det et bedre spørsmål!
- @alephzero: Vel, i et mer realistisk scenario hvor tettheten er høyere nær bakken, vil et objekt som faller høyt nok fra til slutt nå sin " terminal " hastighet (øyeblikkelig relativ til strømtettheten). Og da vil hastigheten gå ned når luften blir tettere, og objektet vil faktisk nå bakken med superterminal hastighet.
- Hvis et objekt har ulik drag (for eksempel er fallskjermhopper, eller ikke en kule og tumler), vil dens terminalhastighet være forskjellig i henhold til dens orientering. I dette scenariet kan det overstige terminalhastigheten noen ganger.
- @Ben: Selv for en sfære vil dra ikke være konstant fordi Cd vanligvis varierer med Reynolds-tallet, som vil avta kontinuerlig til terminalen hastigheten er nådd.
Svar
Et fallende objekt når ikke terminalhastigheten; den nærmer seg terminalhastigheten asymptotisk i henhold til formelen $$ v = \ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho A C_d}} \ tanh {\ left (t \ sqrt {\ frac {g \ rho A C_d} {2m}} \ right)}. $$ Her er $ m $ massen til objektet, $ g $ er akselerasjonen på grunn av tyngdekraften, $ \ rho $ er tettheten av væsken som objektet er gjennom fallende, $ A $ er det projiserte området til objektet, og $ C_d $ er koeffisienten for drag .
Så $$ v_t = \ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho A C_d}} $$ er terminalhastigheten og $$ \ tau = \ sqrt {\ frac {2m} {g \ rho A C_d}} = \ frac {v_t} {g} $$ er tidsskalaen som terminalhastigheten nærmer seg i henhold til $$ v = v_t \ tanh {\ frac {t} {\ tau}}. $$ Ved $ t = \ tau $ objektet er på 76% av terminalhastigheten. På $ t = 2 \ tau $ har objektet 96% av terminalhastigheten. På $ t = 3 \ tau $ er den på 99,5% av terminalhastigheten.
Kommentarer
- Merk at $ \ tanh x \ ca 1 – 2 e ^ {- 2x} $ for store $ x $, så forskjellen mellom $ v $ og terminalhastighet avtar omtrent eksponentielt med tiden. Dette kan være en nyttig tommelfingerregel; hvis $ v $ er 1% under $ v_t $ en gang, og 0,5% under $ v_t $ 10 sekunder senere, vil $ v $ være 0,25% under $ v_t $ 10 sekunder etter det.