Jeg vet at av Heisenbergs Usikkerhetsprinsipp at det ikke er mulig å kjenne de nøyaktige verdiene til en partikkels posisjon og momentum, men kan vi vite de nøyaktige verdiene av momentum og hastighet til en partikkel samtidig? Jeg tror svaret ville være nei fordi selv om vi var 100% sikre på partikkelens posisjon, ville vi være helt usikre på partikkelens momentum, og dermed gjøre oss til også helt usikker på partikkelens hastighet. Har noen noe innblikk i dette?
Svar
Det er ganske vanlig å diskutere de to ytterpunktene i usikkerhetsprinsippet, sinusformet og delta-funksjon. Den ene har en perfekt definert bølgelengde, men ingen posisjon, den andre har en perfekt definert posisjon, men ingen bølgelengde.
Imidlertid er ingen av disse formene veldig fysiske for en partikkelposisjonsbølgefunksjon. En ekte sinusformet bølgefunksjon ville strekke seg gjennom hele rommet, noe som er absurd av flere grunner (inkludert tilstedeværelsen av annen materie). En ekte delta-funksjon vil like sannsynlig ha noe momentum, som sannsynligvis vil bryte med bevaring av energi. Så disse to ekstreme grensene er matematisk interessant, men ikke fysisk relevant.
Gitt spørsmålet «Setter usikkerhetsprinsippet noe på at momentum og hastighet samtidig er veldefinert?», er svaret nei.
Gitt spørsmålet «Forbyder usikkerhetsprinsippet meg å måle noen variabel med uendelig presisjon?», er svaret nei.
Gitt spørsmålet «Har noe forbyr meg å måle med uendelig presisjon? «, svaret er ja .
Så, spørsmålet ditt nevner» eksakte verdier «, som er veldig interessant, tornete Emne. (Er det noen gang mulig å måle en nøyaktig verdi? Hvordan kan vi se forskjellen?) Er du virkelig nysgjerrig på «eksakte verdier»? Er du mer nysgjerrig på hvor Heisenberg usikkerhetsprinsippet gjør og ikke gjelder? Eller er du nysgjerrig på om det er andre grenser for vår evne til å måle, i tillegg til usikkerhetsprinsippet?
Kommentarer
- Jeg spurte bare fordi det ble spurt på en test, og jeg var nysgjerrig på å vite svaret etter at jeg tok testen. Jeg vet at Usikkerhetsprinsippet handler om energi og tid, og da handler det også om posisjon og momentum. Så jeg tenkte at hvis vi hypotetisk målte posisjon med nøyaktig sikkerhet, ville vi være helt usikre på dens posisjon, og dermed helt usikre på hastigheten. Alt jeg ønsket å vite var om usikkerhet om posisjon sikrer usikkerhet om hastighet
- Hvis vi ignorerer relativistiske effekter, så er hastighet og momentum direkte proporsjonal med hverandre med partikkelen ‘ s hvilemasse som proporsjonalitetskonstanten, så hvis du vet en nøyaktig, får du den andre gratis.
Svar
Hvis i din teori er momentumoperatoren og hastighetsoperatoren proporsjonal med hverandre, så ja. Å kjenne den ene egenverdien betyr å kjenne den andre. Det er alltid tilfelle med en hvilken som helst funksjon av en «kjent» operatør.
Kommentarer
- I ‘ m i grunnleggende fysikk 3 ved Georgia Tech tar det som valgfag, så jeg har ikke ‘ ikke kommet så langt. Jeg ‘ Jeg vil sørge for å se på det skjønt
Svar
Hastighets egenverdiene til Dirac-ligningen er $ \ pm c $. Dette er velkjent siden ligningen ble funnet; se Diracs bok, «The Principles of Quantum Mechanics, 4th Ed.», Oxford University Press, Oxford 1958, kapittel XI «Relativistic Theory of the Electron», seksjon 69, «The motion of a free electron», side 262 … Det pleide å være et ofte lært faktum om kvantemekanikk, men jeg forstår nedstemmene. Det er nå mulig å få doktorgrad i fysikk uten å vite det minste om følgende ganske elementære beregning. Delvis siden dette ikke læres mye lenger, har avledningen nylig dukket opp i litteraturen, for eksempel se: Eur.Phys.J.C50: 673-678,2007 Chiral svingninger når det gjelder zitterbewegung-effekten / hep-th / 0701091 , rundt ligning (11).
Vi begynner med å merke at hastigheten er tidsraten for endring av posisjon, og at du kan definere tidsraten for endring av posisjon ved å bruke kommutatoren:
$$ \ hat {v} _x = \ dot {x} = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] $$
Hvis det ovenstående ser ut til å være magisk for deg, kan du lese wikipediaoppføringen på Ehrenfests setning som angir prinsippet og gir den samme situasjonen for ikke-relativistisk kvantemekanikk: $$ \ frac {d} {dt} \ langle x \ rangle = – (i / \ hbar) \ langle [\ hat {x}, H] \ rangle = \ langle p_x \ rangle / m $$ og så $ \; m v_x = m \ dot {x} = p_x $ (for det ikke-relativistiske tilfellet) For den ikke-relativistiske elektronmodellen er det mulig å måle hastighet og momentum samtidig; deres proporsjonalitetskonstant er massen. Men med relativitet proporsjonaliteten skjer ikke så situasjonen er annerledes.
For at en tilstand skal være en egenstat for hastighet, kreves det:
$$ \ hat {v} _x \; \ psi (x) = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] \; \ psi ( x) = \ lambda \ psi (x) $$
Dirac definerte den frie partikkelen Hamilton som $ H = c \ vec {\ alpha} \ cdot \ vec {p} + \ beta mc ^ 2 $. I moderne notasjon er $ \ beta = \ gamma ^ 0 $ og $ \ alpha ^ k = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ k $, mens $ p $ er den vanlige momentumoperatøren.
Merk at eneste som ikke pendler med $ \ hat {x} $, er x-komponenten til momentumoperatoren, som gir $ [\ hat {x}, \ hat {p} _x] = i \ hbar $. Dermed ovenfor reduserer til:
$$ – (i / \ hbar) [\ hat {x}, c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 [\ hat {x}, p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) (i \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$
Ved å bruke wikipedias valg av gamma-matriksrepresentasjon har vi: $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = c \ left (\ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0
-1 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ – 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) = c \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) $$ Egenverdiene er oppnådd ved å løse karakteristisk polynom . Det vil si, beregne matrixdeterminanten og sett den til null: $$ \ left [\ begin {array} {cccc} – \ lambda & 0 & 0 & c \\ 0 & – \ lambda & c & 0 \\ 0 & c & – \ lambda & 0 \\ c & 0 & 0 & – \ lambda \ end {array} \ right] = \ lambda ^ 4-2 \ lambda ^ 2c ^ 2 + c ^ 4 = 0 $$ Jeg lar det være som en øvelse for leseren å vise at det er to virkelige røtter, $ \ pm c $ hver med rekkefølge to.
De fire løsningene på hastighets egenverdiproblemet for Dirac-ligningen tilsvarer høyre og venstrehendt elektron og positron. Det vil si at hastighets egenstatene til Dirac-ligningen er nøyaktig de venstre og høyrehendte tilstandene som brukes til å representerer fermioner i standardmodellen .
Kommentarer
- Det er to separate problemer som kan forårsake nedstemmer (jeg gjorde ikke ‘ ikke nedstemme, vær så snill å fikse). For det første er Dirac Hamiltonian i et diskreditert enkeltpartikkelbilde av Dirac-ligningen, der x er en operatør som beskriver elektronens posisjon. I det riktige feltteoribildet har nær Fock-stater et momentum som er p og en hastighet som er p / E i en bølgepakke, og de to størrelsene kan ha samtidige verdier (liksom fordi partikler er ikke-lokale). Det andre problemet er at ligningen du gir for hastighets egenverdiene har fire løsninger, (c, -c, ic, -ic).
- Så langt som problemet med felt teori kontra QM går, er hastighetens egenstatus for elektronet relatert til zitterbewegung (zbw) som nylig har fått en oppgang på grunn av fysikkforskning i solid state.Så jeg ‘ er ikke sikker på at det ‘ er diskreditert, for eksempel, se diskusjonen om zbw og hastighets egenstater i Eur. Phys. J. B 83, 301–317 (2011): arxiv.org/abs/1104.5632
- Ok, jeg ‘ m fiksering av egenverdiberegningen; Jeg blåste determinanten.
- Jeg tror ikke ‘ det ‘ er fullstendig diskreditert, det trenger bare en diskusjon — zbw er en egenskap av positrontilstander som blandes med elektrontilstander i enkeltpartikkelbildet, det er elektronet som zigger frem og tilbake i tid i Feynman-beskrivelsen. Det ‘ er fysisk, men bare i Feynman-formen av partikkeldynamikk, ikke så mye i feltteorisk form. Jeg er sikker på at dette er grunnen til at mange mennesker automatisk nedstemmer enkeltpartikkeldiskusjoner av Dirac eqn. Jeg tror ikke ‘ det er tull, det inneholder mye fysikk, men det krever en grundig diskusjon.
Svar
Argumentet om at Heisenbergs usikkerhetsprinsipp forbyr at vi kan kjenne de nøyaktige verdiene til en partikkels momentum og hastighet, er allerede diskreditert i den gamle læreboka av Feynman på Quantum Elektrodynamikk.
To observasjoner kan bestemmes samtidig hvis operatørene pendler. For hastighet og momentum pendler operatørene $ [\ hat {p}, \ hat {v}] = 0 $; de gjør selv i Dirac-bølgefunksjonsteorien med dens Zitterbewegung-effekter.