Er Futures nøyaktig Delta One?

Forward delta er 1 (definert som endring i verdien på forward med hensyn til en øyeblikkelig prisendring på den underliggende, og holder alt annet konstant).

Men for en meningsfull diskusjon av forskjellene i termins- og futuresprising, bør forward-prisdeltaet til forwarders vurderes, og det er exp (r (Tt)). Selv om deltaet til de to er identisk, verdien av en portefølje som har en terminskontrakt fremover vil endre seg over tid, og her er hvorfor: Forskjellen oppstår fra det faktum at renten ikke er konstant, men tilfeldig og fremover er OTC-produkter som avvikles ved forfall mens futures avvikles daglig. Denne subtile forskjellen fører til forskjellige kontantstrømmer fordi penger som settes inn på kontoen din, eller at du trenger å hoste på grunn av daglige marginoppgjør, kan investeres / må lånes til gjeldende renter.

Hvis for eksempel den underliggende diskonteringsrenteprosessen og den underliggende aktivapriseprosessen er positivt korrelert, så hvis eiendelprisene stiger omvendt, vil renten bli lavere og overskudd som daglig settes inn på kontoen din til lavere priser. Det motsatte når eiendomsprisene faller, må du sette inn variasjonsmargin og låne til høyere renter. Derfor må futures-kontrakten være priset lavere enn forward i dette eksemplet for å gjøre futures-kontrakten like attraktiv.

Kommentarer

• Takk Matt. Men hvis vi glemmer daglig marginalisering for fremtiden for øyeblikket? … Kan vi utlede hvordan delta ikke akkurat = 1 fra formel: f = verdi av fremtidig kontrakt = S (t = 0) – K exp (-rT)? Jeg tar derivat av f, r kommer fra avkastningskurven er et tall / float for en gitt t (Sikkert over tid er det ‘ ikke en konstant, men vi leser av et tall fra avkastning kurve). Jeg kan ‘ t se hvorfor 1. avledet av andre ord med hensyn til S ikke ‘ t null nøyaktig.
• Deltaet for en forward er ikke 1. Det ‘ s exp (r (Tt)) som en futures.
• Jeg er uenig. Kan du snakke å gå gjennom din avledning av fremover delta? Du må redusere verdiendringen tilbake, og dermed kanselleres exp (r (T-t)).
• @Matt Wolf. Siden du godtar at terminprisen er nedsatt spotpris, bør det være klart at deltaet ikke kan være 1. Finansieringskostnaden for å kjøpe spot endres med den nedsatte spotprisen. Deltaet er derfor rabattfaktoren.
• Jeg redigerte svaret mitt for å gjøre det mer presist når utøvere refererer til et fremadelta som 1 og når de definerer det som exp (r (T-t)). Generelt sett vurderes fremover delta på 1 fordi de fleste handelsmenn er opptatt av endringer i verdsettelser og med å sette opp presise sikringer og ikke hvordan terminpriser endres i fremtiden (forskjellen mellom pris og verdi på en terminkontrakt er viktig).

Jeg tror det er forvirring rundt terminkursen og verdien av en terminkontrakt. En terminkontrakt forplikter en bytte av en eiendel på et fremtidig tidspunkt $ T $. Som konvensjon har denne terminkontrakten den opprinnelige verdien null (på tidspunktet $ 0 $).Terminkontrakten, som er en bytte av en eiendel for et angitt dollarbeløp i fremtiden, har til en verdi av $ t \ in [0, T] $ en verdi på $ f (t, T) = S_t-Ke ^ {- r (Tt)} $. Denne kontrakten har helt klart delta som er lik en.

Vurder nå problemet med den «riktige» prisen $ K $ på null tid. Etter konvensjon er $ f (0, T) = 0 $. Ved å bruke ligningen $ S_t-Ke ^ {- r (T-t)} $ og løse for K ved $ t = 0 $ gir $ K = S_0e ^ {rT} $.

$ K $ er ikke tidsavhengig: den er løst på tidspunktet null. Imidlertid kan det på tidspunktet $ t $ innledes en annen terminkontrakt med løpetid $ T $. Det samme argumentet som ovenfor gir prisen på $ K $ på tiden $ t $ på $ S_t e ^ {r (T-t)} $. For eksplisitt å vise denne avhengigheten av $ K $ på $ t $ vil jeg nå la $ F (t, T) $ betegne verdien av $ K $ for en terminkontrakt med utløp $ T $ initiert på tidspunktet $ t $. Siden $ F (t, T) = S_t e ^ {r (T-t)} $ er «deltaet» til $ F (t, T) $ $ e ^ {r (T-t)} $.

Det er viktig å merke seg at $ F (t, T) $ ikke er en eiendel: når alt kommer til alt er den nedsatte verdien på $ F (t, T) $ tydeligvis ikke en martingale under risiko- nøytralt mål. Det er mer naturlig å ta delta i terminkontrakten, som er en ressurs.

På tidspunktet $ t $ er prisen på en futureskontrakt med løpetid $ T $

$ F (t, T) = S (t) e ^ {r (Tt)}, $

hvor $ S (t) $ er spotprisen på tiden $ t $ og $ r $ er renten. Terminakontraktsdeltaet er dermed

$ \ frac {\ partial F} {\ partial S} = e ^ {r (T-t)}. $

For $ r > 0 $ har vi derfor $ \ partial F / \ partial S > 1 $ for $ t < T $.

Kommentarer

• F (t, T) = S ( t) er (T − t) er hvordan du beregner » rettferdig » fremtid / pris. Men når du har inngått en kontrakt, blir fremtidig / fremadrettet pris konstant K. Både K og r er ikke en funksjon av S. Hvis du tar første derivat av f = [Verdi av fremtidig kontrakt] = forskjell mellom Spot og PV (K) = S (t = 0) – K exp (-rT) … første term = 1.0 nøyaktig, og den andre termen skal gå til null (Som K / r / T alle konstante med hensyn til S)
• Jeg vet ikke ‘ hva du mener med » prisen blir konstant «. Åpenbart er prisen på futureskontrakten du eier den nåværende rettferdige prisen på futureskontrakten (i et effektivt marked).
• Takk RPG, men jeg gjorde ikke ‘ t si » Prisen blir konstant «. Jeg sa at K (fremover / fremtidig pris) på en bestemt fremtidig kontrakt du tok stilling er et konstant tall. Når du har inngått en kontrakt, kan du ‘ t endre K.
• Men RPG takk for innsatsen!
• Prisen på en terminkontrakten stammer fra $ t $ er $ S_t – F (t, T) e ^ {- r (Tt)} $. » fremtidig pris » er $ F (t, T) = S_t e ^ {r (Tt)} $ slik at kontrakten ved opprinnelsen har null verdi. Delta av en futureskontrakt er altså 1.

For Fremoverkontrakt , jeg er enig med @Matt at dens delta er nøyaktig ett .

Dette kan sees av det vanlige argumentet om ikke-arbitrage, der lang 1 Terminkontrakt, kort 1 underliggende, og invester shortsalgsprosedyren i kontantkonto på tidspunktet 0. Deretter vil det ved termin Forfall T være avgjort med null P & L. (dvs. bruk kontantkonto på T for å utbetale terminskurs F, bli underliggende og bruke den til å lukke shortsellposisjon.)

Som i løpet av hele denne selvfinansierende sikringsporteføljens levetid, har jeg bare shortsell 1 underliggende, derfor er hekken nøyaktig delta en når som helst.

For Futurekontrakt imidlertid er sikringen ikke akkurat delta en, men exp {r (Tt)}

For en lang posisjon i Futures-kontrakt, vil de midlertidige kontantstrømmene fra markerte -to-market vil gå inn på kontantkontoen. Denne delen vil vokse med risikofri rente (forutsatt at den ikke er tilfeldig). Derfor er det ingen sikring å vurdere for disse kontantstrømmene, da det ikke er et stokastisk begrep. (selv om det påvirker futures-prisen som @Matt påpekte på grunn av sammenheng mellom rente og underliggende, men det er et annet spørsmål.)

Den eneste stokastiske termen i lang futuresposisjon er endringen av futures pris (man kan vise at dF = sigma F dB). Det er velkjent at F = S * exp {r (T-t)}. For hver 1 enhetsendring av S vil Futures-prisen endre seg med exp {r (T-t)}, og det bidrar til verdiendringen i Futures-posisjonen.

Deltakelsen til futureskontrakten er altså exp {r (Tt)}

Fordi deltaet er tidsavhengig, er hekk vil være dynamisk og kreve hyppig justering av sikringsposisjon, sammenlignet med en statisk hekk av fremoverposisjon (alltid delta en).

Jeg har et nytt bevis fra professoren min, men jeg tror jeg bare kan dele det privat. 🙂

Ser på innlegget – det ser ut til at det er definisjonen av deltaet i seg selv, ikke detaljene i formlene , det er annerledes

Jeg trodde deltaet var forholdet mellom verdiendring av derivatet og endring i samme (enhets) mengde underlier

Innlegget ser ut til å si at deltaet er forholdet mellom endring av derivatet og endring i ekvivalent mengden av underlier

Kommentarer

• Forvirringen fordi @RPG feilforvirret pris og kontrakt feil. Terminkurs er ikke et derivat, men terminkontrakt er det.