Finn h [n] ved hjelp av DTFT-egenskaper

Mens dette er av opptaksleksene dine (og ganske grunnleggende), jeg vil bite. Husk definisjonen av DTFT :

$$ X (\ omega) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] e ^ {- j \ omega n} $$

Og husk definisjonen av frekvensresponsen $ H ( \ omega) $:

$$ H (\ omega) = \ frac {Y (\ omega)} {X (\ omega)} $$

hvor $ x [n ] $ er inngangen til systemet og $ y [n] $ er dens utgang. Kombiner disse to ligningene:

$$ \ begin {eqnarray *} H (\ omega) X (\ omega) & = & Y (\ omega) \\ \ frac {1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}} { 1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}} X (\ omega) & = & Y (\ omega) \ \ (1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}) X (\ omega) & = & (1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}) Y (\ omega) \\ X (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega} X (\ omega) & = & Y (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j \ omega} Y (\ omega) \ end {eqnarray *} $$

Utfør nå den inverse DTFT på begge sider av ligningen. Per definisjon er $ X (\ omega) $ og $ x [n] $ et transformasjonspar; på samme måte for $ Y (\ omega) $ og $ y [n] $. For de to andre begrepene, husk tidsskiftende eiendom til DTFT:

$$ x [nk] \ leftrightarrow e ^ { -jk \ omega} X (\ omega) $$

som enkelt kan vises fra definisjonen av DFT. Ved å bruke denne egenskapen transformerer ligningen invers til differensialligning spesifikasjonen for systemet:

$$ x [n] – a ^ 4 x [n-4] = y [n] – a ^ 4 y [n-1] $$

$$ y [n] = x [n] – a ^ 4 x [n-4 ] + a ^ 4 y [n-1] $$

Dette er definisjonen av et rekursivt filter, som er vanligvis IIR; det er tilfelle for denne. Det er enkelt å finne impulsresponsen; la $ x [n] = \ delta [n] $ og finn at systemutgangen er:

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4 ( n-4) +4} u [n-4] $$

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4n-12} u [n- 4] $$

Ovenstående er tegnet for $ a = 0,99 $. Det skal bemerkes at systemet bare er stabilt for $ | a | \ le1 $.

Kommentarer

• I ' har prøvd å beregne impulsresponsen, men ble floket. Kan du vise hvordan det ' gjør? takk.

$$ \ begin {align *} H (\ omega) & = \ frac {1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)} {1-a ^ 4 \ exp (-j \ omega)} \\ & = (1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)) \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (a ^ 4 \ exp (-j \ omega)) ^ n \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) – \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n +4} \ exp (- (n + 4) j \ omega) \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ 3 a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) + \ sum_ {n = 4} ^ \ infty [a ^ {4n} – a ^ {4n-12}] \ exp (-nj \ omega) \\ h [n] & = \ begin {cases} 0, & n < 0, \\ a ^ {4n}, & n = 0, 1, 2, 3, \\ a ^ {4n} – a ^ {4n-12}, & n \ geq 4. \ end {cases} \ end {align *} $$ Siden impulsresponsen strekker seg til $ \ infty $, er dette et IIR-filter. JasonR uttaler i sitt svar at filteret er stabilt bare hvis $ | a | < 1 $. Faktisk er filteret stabilt når $ | a | \ leq 1 $, og er ustabil bare for $ | a | > 1 $. Imidlertid når $ | a | = 1 $, fra den geometriske serieformelen $ 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 = \ frac {1-r ^ 4} {1-r} $, får vi den $$ H (\ omega) = \ frac {1- \ exp (-4j \ omega)} {1- \ exp (-j \ omega)} = 1 + \ exp (-j \ omega) + \ exp (-2j \ omega) + \ exp (-3j \ omega) $$ er overføringsfunksjonen til et (stabilt) FIR filter som kan beskrives som en kortsiktig integrator eller kortvarig gjennomsnitt (med gevinst $ 4 $).

Kommentarer

• Fin alternativ avledning. Jeg la også kravet mitt på stabilitet i mitt svar.