Flislegging av en sekskant med diamanter

Jeg tror jeg har funnet et veldig enkelt bevis.

Hver flis med vertikale sider må ha to andre fliser med loddrette sider ved siden av , eller den vertikale grensen til sekskanten. For en gitt flis med vertikale sider gir følgende tilstøtende fliser en spesifikk sti til begge vertikale sider av sekskanten.

Dette betyr at hver flis med vertikale sider ligger på en sti som starter på venstre side av sekskanten og ender til høyre, og består bare av fliser med vertikale sider. Ingen av disse banene kan krysse hverandre, siden det vil skape to forskjellige baner fra en enkelt flis med vertikale sider til venstre side av sekskanten, som ikke kan eksistere i henhold til første avsnitt.

Siden ingen av banene krysser hver vei mellom venstre og høyre side av sekskanten må starte og slutte i samme høyde. Derfor må hver sti inneholde et likt antall av hver av de to forskjellige orienterte fliser med vertikale sider. Siden hver flis med vertikale sider ligger på en slik bane, må det totale antallet av disse to forskjellige orienterte flisene være like.

Gjenta dette symmetrisk for to andre retninger for å finne ut at antall fliser i hver retning må være like.

Kommentarer

• Veldig fint bevis. Jeg tror det kan gjøres enda enklere av den enkle observasjonen at a + b = b + c = c + a tilsvarer a = b = c. Så kan du slippe hele krysset og opp og ned ting. I stedet er det bare å telle vertikale slag. Etter argumentet ditt må de ha samme nummer i hver » kolonne » og grensen. Du kan kartlegge 1 til 1 alle vertikale streker unntatt den venstre grensen, for eksempel til alle fliser som har vertikale sider (dvs. to slags, som i a + b ovenfor) ved å knytte hver slik flis til den høyre vertikale kanten.
• Ah, du ‘ har rett. Når du vet at det er like mange slag i hver retning, følger resultatet enkelt.

Jeg vil legge ut et svar som er mer intuitivt enn matematisk .
Dette bildet representerer det perfekt:

Hvitt, grått og svart brukes til å markere diamantene med samme retning. Det rette bildet viser et underlig solid, antar at alle kan se det.
Vel, det er intuitivt å se at det svarte området er ekvivalent for alle konfigurasjoner (hvitt og grått også): det er som ekstrudering av deler av gulvet ditt (også bygget trapper!), det området du kan gå på endres ikke!

Kommentarer

• Formen din holder flipflopping i hodet mitt. Ett øyeblikk er svart » opp «, det neste er det » ned «. Men jeg liker dette beviset.
• @Floris Min intensjon er å løse dette problemet som et puslespill (vi ‘ er i Puzzling, eheh!), og ikke som en ren matematisk oppgave.
• Du ‘ antar at hver løsning » ser ut som » en bunke med terninger. Hvordan vet du at det er sant? Forutsatt at hver løsning ser ut som en bunkebunke er pen mye forutsatt at ting du ‘ blir bedt om å bevise.
• @Floris: Ow, det tok meg en stund å se det snudd, og når jeg først gjør det, må jeg slite for å » hold » den tolkningen og det gjør vondt i hodet mitt. Jeg antar at jeg spilte for mye Q * bert i min ungdom.
• @ leoll2 Det ‘ er din jobb å overbevise oss om at det ikke kan ‘ ikke være noe annet. Hvordan kan jeg være sikker på at det ikke er ‘ t noen rare fliser som ikke ser ‘ t ut som en kubestabel?

Her «er et 3D-inspirert bevis.

Ta en hvilken som helst flislagt sekskant, og se på dens vertikale linjer.

Vær først oppmerksom på at på grunn av flisens form, må alle vertikale linjer ha samme lengde som venstre og høyre side av sekskanten, muligens med mellomrom.

Så hvis ingen av dem har hull, og alle ender på bunnen, må hele fliserne se slik ut («fullstendig fylt kube»):

Vi viser at det er mulig å forvandle annen flislegging til en» fullstendig fylt kube «uten å endre antall fliser i hver retning.

Velg først et fragment av en vertikal linje som ikke slutter nederst. Det må ende på en horisontal flis i stedet, da de to andre flisene begge har vertikale sider. Forhåpentligvis ser situasjonen slik ut («hjørne»):

Men kanskje det er en eller to ekstra linjer som stammer fra på samme sted, slik:

Hvis det er tilfelle, følg en av dem. Den må tilhøre en annen horisontal flis ved siden av den nåværende. (Du kan se dette fra bildet.) Så etter å ha fulgt linjen, er du i samme situasjon igjen, men nærmere en av sidene av sekskanten (som garanterer avslutning, siden det definitivt er en vertikal linje i retningen du kom nettopp fra). Fortsett i samme retning til du kommer til et «hjørne».

Nå som du har nådd et «hjørne», «fyll det»:

Antall fliser i hver retning har åpenbart holdt seg det samme. Imidlertid har et vertikalt linjefragment nettopp beveget seg nedover.

Gjenta denne algoritmen til alle vertikale linjer slutter i bunnen og alle hull er fjernet, noe som resulterer i «fullstendig kube» (se ovenfor). p>

Kommentarer

• Kult! Det beviser også at hvilken som helst flislegging kan forvandles til hvilken som helst annen ved hjelp av en sekvens av » hjørnefyllinger «, eller små sekskantrotasjoner
• Ja, og på en måte viser det at 3D-tolkningen alltid fungerer. Men jeg tror det kan bevises mye mer direkte, som i » ta en hvilken som helst flislegging, og bygg en tilsvarende 3D-struktur som følger … »
• bra 🙂 i utgangspunktet 3d rotasjon. Jeg gjorde den andre. Har du noen gang møtt det puslespillet?

Interessant nok, når du ser på bildet som en 3d-graf, kan du se at hvert «ansikt» har samme antall fliser. Så hvis du så på det fra venstre, ville du se 25 firkanter. Topp, 25 firkanter. Høyre, 25 firkanter. Og hver av de tre retningene tilsvarer et av ansiktene.

Kommentarer

• Jeg føler at dette argumentet er overbevisende, men bare for den spesielle fliser du ser på. Hvordan kan du være sikker på at den optiske illusjonen vil skje for alle mulige fliser?
• Dette svaret ser ut til å være en måte å visualisere svaret på … det viser ingenting. Det er imidlertid mulig å bevise det på denne måten.
• Jeg er helt enig. Jeg » vet » svaret, men å forklare det er utenfor meg denne fredagen.

Nok en annen; denne er trekantbasert og kan være mer en standardisolert.

Del hele sekskanten i trekanter og tildel tall til de vertikale linjene slik (eller lignende):

Nå, for enhver trekantbasert form (whi ch trenger ikke nødvendigvis å være en flislegging) definer «graden» som tallet oppnådd ved å legge til alle tallene som er tildelt den venstre grensen og trekke alle tallene som er tildelt den høyre grensen. For eksempel har formen

en «grad» på $ (1-2) – (2 + 2-1-2) = – 2 $.

Nå bygger du en flislegging stykke for stykke, og vurder «graden» av den resulterende formen. Hvis du legger til en horisontal flis, endres ikke graden, ved å legge til en av de andre øker eller reduseres den med henholdsvis 1:

Siden hele sekskanten har en grad 0, må antallet av de to flisene vises være lik. Gjenta symmetrisk i en annen retning.

Kommentarer

• Du kan dele sekskanten i et hvilket som helst antall former, da er summen av grader av disse figurene 0.Teknisk svarer ikke dette fordi du fortsatt må bevise at du kan bygge flislegging (for eksempel ved å ekstrudere, du bare beviste at hvis en flislegging eksisterer, så må den ha grad 0) Men dette svaret sørger for en manglende brikke til beviset så +1
• Slik jeg forstår spørsmålet, er det ikke nødvendig å bevise at en flislegging alltid eksisterer. Men det gjør det selvfølgelig. 🙂 (Se mitt første svar.)
• og for å se at du kan bygge alle mulige fliser trenger jeg svaret mitt 🙂
• Åh, nå forstår jeg hva du sier. Med » bygg » mener jeg noe annerledes: Start med en flis; det er din første form. Legg deretter til den ene flisen etter den andre, til du kommer til flisene du opprinnelig hadde.
• Nei, for meg begynner det fra en gyldig tilstand (bare må du gi en, den ‘ s trivielle) bruk deretter en form for transformasjon som etterlater deg i en annen gyldig tilstand. Bygg som du sier er vanskeligere fordi du trenger en slags » forkjøp » som er mulig, men krever søk, mens du er i innlegget mitt Jeg bruker ikke ‘, bare forhåndsfiksert » overganger » resonnement veldig enkelt ..

La oss se på det trekantede rutenettet etter kolonne.

Hver kolonne i venstre halvdel har en mer venstre-pekende trekant enn høyre-pekende trekanter. I høyre halvdel er det et overskudd av en høyre-pekende trekant.

Diagonale pastiller bidrar til nøyaktig en venstre-pekende og en høyre-pekende trekant i en kolonne. La oss ignorere disse. Du sitter igjen med venstre med trekanter som er en del av en horisontal pastill. En horisontal pastill er laget av en venstrepekende trekant i en kolonne (rød) og en matchende høyrepekende trekant i kolonnen til høyre (grønn).

Trekantene vi ignorerer består av par med venstre-og høyre-pekende trekanter i en kolonne. Så i hver kolonne må det fortsatt være et overskudd på en rød trekant i venstre halvdel og et overskudd av en grønn trekant i høyre halvdel.

I den første kolonnen må det være en rød trekant fordi det er et overskudd av en, og det kan ikke være noen grønn trekant. Den trekanten matches av en grønn trekant i 2. kolonne. I kolonne 2 er det en grønn trekant, så det må være en rød trekant til. Det vil si 2. Disse to røde trekanter har matchende grønne trekanter i 3. kolonne osv.

Som du ser er det en rød trekant til i hver påfølgende kolonne, opp til midtlinjen. Den siste kolonnen før midtlinjen har 5 røde trekanter. Det er 5 matchende grønne trekanter til høyre for midtlinjen. Men fremdeles har vi nå et overskudd på 1 grønn trekant, antall røde trekanter synker til 4. Derfra avtar antallet med hver kolonne. Resultatet er at uansett hvordan pastiller er plassert, danner de røde trekanter i kolonnene sekvensen 1,2,3,4,5,4,3,2,1,0, som summerer til 25.

Det betyr at det alltid vil være 25 røde trekanter. Og dette er halvdeler av de horisontale pastiller, så det vil alltid være 25 horisontale pastiller.

Ved rotasjonssymetri gjelder det samme for venstre-diagonale og høyre-diagonale pastiller. Det betyr at uansett hvordan de plasseres, vil det alltid være 25 av hver av de tre typer pastiller.

QED

Fra trekantet flislegging med en «kubegrense», kan vi se at:

• det er like mange linjesegmenter i $ 0 ^ \ circ, 120 ^ \ circ, 240 ^ \ circ $

• hver rombe dekker nøyaktig en type linjesegment

Kommentarer

• Er ikke ‘ t som bare gjentar hva leoll2 sa, at når » ekstruderer deler av gulvet ditt » at » området du kan gå på, ikke ‘ t endre «.
• At ‘ er faktisk et mye bedre bevis enn svarene mine. Det ‘ er interessant at du bare ignorerer alle linjene som er synlige og fokuserer på de usynlige i stedet.

Hvis vi tilordner $ S $ til å være sidelengden til sekskanten (i antall diamantsidelengder) og $ A $, $ B $, $ C $ til være antall diamanter av hver type der $ A $ er lengre enn høy, $ B $ poeng nederst til høyre / øverst til venstre og $ C $ poeng nederst til venstre / øverst til høyre.

totalt antall diamanter (aka areal) lar oss lage denne ligningen:

$$ S ^ 2 * 3 = A + B + C $$

Se for deg $ S = 1 $ sekskant … Det er bare to løsninger som er den samme rotert 30 grader. Det må være alle tre diamantene tilstede for at den sentrale delen skal legge seg opp til 360 grader.

Vi kan forestille oss at det er tre baner som går fra topp til bunn, øvre høyre til nedre venstre, og øvre venstre til nedre høyre hjørne. Den totale bevegelsen nedover for enhver bane du følger (topp til bunn) må være lik $ 2S $, men bevegelsen fra venstre til høyre må være null. Hvis du beveger deg helt ned på en $ A $ diamant, beveger du deg ikke mot høyre eller venstre. Hvis du beveger deg ned på en $ B $ eller $ C $ diamant, beveger du deg henholdsvis til høyre eller venstre. For at alle stier ikke skal bevege seg mot venstre eller høyre, må det totale antallet $ B $ og $ C $ være likt. Hvis du roterer grafen 60 grader slik at et annet par hjørner peker opp / ned, kan du vise dette for $ A $ og $ B $ eller $ A $ og $ C $.

Kommentarer

• Kan du utdype litt mer om hvor disse 3 stiene kommer fra? Er det flere mulige stier (fra topp til bunn), eller unike gitt fliser? Er disse som en bonde som hopper fra diamant til tilstøtende diamant, eller en maur som følger kantene?
• Det er vektortilsetning … det refererer til alle baner som går fra hjørnet til motsatt uten rygg sporing. Det følger etter kanter.
• For å avklare er det ingen sti som ikke følger B = C, så legg dem alle sammen og B = C

Ikke sikker på at dette er et fullstendig svar, men jeg blir lei.

La n = antall trekanter til siden. Ta diamantene som berører EDIT: n + 1 tilstøtende kanteenheter (bare på 1 punkt teller ikke): Minst en diamant må være annerledes fra de andre. La alle endringene skje i hjørnene, med en endring i hvert andre hjørne.Vi har laget en sløyfe som kan inneholde en sekskant med sidelengde n-1, og antall diamanter av hvert slag er likt. Induksjon ned til n = 1, hvor den åpenbart er lik.

La nå en sekskant ytre sløyfe avvike fra vår «endring skjer bare i hjørner» -politikken. Farg alle de ytre kant-tilstøtende diamantene en viss farge (for eksempel svart) og la diamanter som stikker ut fra denne sløyfen hvite. Nå kan vi se en ødelagt sløyfe som omgir en annen (absolutt ødelagt) sløyfe av n-1. Farg denne indre sløyfen med en ny farge, og la igjen alle opprørerne hvite. Gjør dette ned til sekskanten n = 1, og farg opprørerne etter orientering.

Nå hvis du ser på diagrammet mitt, vil den indre lilla sekskanten virkelig ha en rød flis nederst i stedet for en oransje og en rosa . Tenk deg at dette er en mosaikk. Riv opp en rød flis og de oransje og rosa opprørerne i midten, og legg den røde flisen der. Den lilla sekskanten er lykkelig nå. Gjør nå den grønne sekskanten lykkelig (en endring bare i hvert eneste hjørne) – Den nederste sidelengs diamanten vil være to skrå diamanter som passer rundt den lilla sekskanten – legg i de oransje og rosa flisene til siden, og legg den grønne flisen uansett hvor vi ranet den røde flisen fra tidligere. Jeg tror det er klart at denne prosessen kan fortsette til vi når vår «optimale sekskant». Hjernen min er for stekt til å bevise dette definitivt.

EDIT: Jeg tror disse to tingene er sanne: 1. Hvis vi tar en ikke-optimal sekskant, vil hver konsentriske sløyfe være ulykkelig 2. Å fikse en ulykkelig sløyfe legger nødvendigvis fliser til vår «hånd» av fjernede mosaikkfliser. 3. For å fikse den innerste sekskanten, røve enhver passende opprører.

Med disse to tingene i bakhodet er det umulig at vi ønsker å fikse en sekskant, men ikke vil ha fliser i vår «hånd» av fjernede fliser, forutsatt at det er minst en opprører av typen som trengs av n = 1-sløyfen.

Det er ikke behov for lange bevis. Tenk 3D.

Se for deg at noen kuber er festet i et hjørne av rommet. De tre retningene er ansiktene vi ser, siden vi fra alle sider trenger å se det samme antallet ansikter.

Kommentarer

• det er et bevis fra nummerering også. Sett to 0er i et hjørne og konstruer tallet slik at de tre orienteringene alltid blir opptil -1,0 og 1. Ved å legge til rad for rad vil total sum være 0 Derfor X (1) + Y (0) + Z (-1) = 0 som betyr X = Z. Roter nå nummereringen 120degress Med lignende argument X = Y Dette fullfører beviset
• Dessverre er dette i det vesentlige det samme som svaret som allerede ble gitt av leoll2, og som ble bevist i Sebastian Reichelt-svaret. Beviset du nevner i kommentaren din, ble også allerede lagt ut i Sebastian Reichelt andre svar.

I rekkefølge For å bevise dette prinsippet, gjennom Pascal-programmering for å generere forskjellige diamantoppsett, gjennom forskjellige farger, vil du oppdage at dette 2D-asfalteringsproblemet har blitt et 3D-modellgenereringsproblem, og disse modellene ligner veldig på byplanlegging eller arkitektur. En prøveberegning av tårnet og podiet. En annen funksjon er at den genererte tredimensjonale modellen ikke har en stor øvre del og en liten nedre del, og er en stabil rektangulær parallellpiped layout. En » oppgradering av » fra et todimensjonalt problem til et tredimensjonalt oppsett. ional

Kommentarer

• Hvordan viser dette kravet i spørsmålet?