Forventet verdi av gammadistribusjon

Forutsatt at du gjelder tilfeldig variabel av gammadistribusjon med form $ \ alpha > 0 $ og rate $ \ beta > 0 $ parametere, det vil si $ X \ sim Gamma (\ alpha, \ beta) $, kan du finne $ \ mathbb {E} [\ frac {1} {X ^ 2}] $ på følgende måte:

For hvilken som helst tilfeldig variabel X av kontinuerlig fordeling (som Gamma) som $ f $ betegner sin sannsynlighets tetthetsfunksjon (i ditt eksempel $ f (x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alfa)} x ^ {\ alpha – 1} e ^ {- \ beta x} $) og for en hvilken som helst funksjon $ g $ av denne variabelen (i ditt tilfelle $ g (x) = \ frac {1} {x ^ 2 } = x ^ {- 2} $), den holder: $$ \ mathbb {E} [g (x)] = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} g (x) f (x ) dx $$

I eksempelet ditt forenkler det veldig mye (vær oppmerksom på $ -3 $): $$ g (x) f ( x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 3} e ^ {- \ beta x} $$ Brøken avhenger ikke av $ x $ , slik at den kan settes utenfor en integral.

For diskret distribusjon er den veldig lik: $$ \ mathbb {E} [g (x)] = \ sum \ limits_ {x \ in \ mathcal {X}} g (x) f (x), ~~ \ text {hvor} ~ \ mathcal {X} ~ \ text {angir støtte for X (verdisett det kan ta)} $$

Jeg vil ikke holde deg i spenning lenger. Husk først at $ \ Gamma (\ alpha + 1) = \ alpha \ cdot \ Gamma (\ alpha) $.

La $ f _ {\ alpha} (x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 1} e ^ {- \ beta x} $. Kombinere disse to resultatene i en enkel observasjon: $$ x \ cdot f _ {\ alpha} (x) = \ frac {\ alpha} {\ beta} \ cdot f _ {\ alpha + 1} (x) $$ Fortløpende: $ $ \ frac {f _ {\ alpha + 1} (x)} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha} \ cdot f _ {\ alpha} (x) $$ Ved å bruke dette to ganger får du resultatet :

$$ \ frac {f _ {\ alpha} (x)} {x ^ 2} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {f _ {\ alpha- 1} (x)} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} \ cdot f _ {\ alpha-2} (x) $$ Til slutt (som $ f _ {\ alpha-2} (x) $ er også PDF, som integral tilsvarer $ 1 $): $$ \ mathbb {E} (\ frac {1} {X ^ 2}) = \ int \ limits_ { – \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac {f _ {\ alpha} (x)} {x ^ 2} dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} { \ alpha-2} \ cdot \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f _ {\ alpha-2} (x) dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} $$ Denne løsningen ovenfor er for dette spesielle tilfellet, men som whuber påpekte , det mer generelle tilfellet for enhver reell og positiv $ p \ i \ mathbb {R}, ~ p > 0 $ den inneholder: $$ \ mathbb {E} (X ^ p) = \ beta ^ p \ cdot \ frac {\ Gamma (\ alpha + p)} {\ Gamma (\ alpha)} $$

Kommentarer

• @TJ Phu Gi oss beskjed om hva du virkelig har problemer, kanskje med å beregne denne integralen? Uansett, gi oss beskjed. Prøv imidlertid å følge gung og sølvfisk kommentarer og forbedre den generelle utformingen av spørsmålet.
• @TJ Phu Kanskje min aller første kommentar om å gjøre rå integrering var litt misvisende. Gi meg beskjed om du fullstendig forstår løsningen min (ganske enkelt ved å godta / krysse av for svaret mitt).

Jeg vil gå an på den late måten: ved å starte med en definisjon og se hardt på hva som følger, for å se om noen allerede har vist meg svaret. I det følgende er det ikke behov for beregninger i det hele tatt, og bare de aller enkleste reglene (av eksponenter og integraler) kreves for å følge algebraen.

La oss begynne med gammadistribusjonen.Velg en måleenhet på $ X $ der $ \ beta = 1 $ , slik at vi kan ganske si at $ X $ har en $ \ Gamma (\ alpha) $ distribusjon. Dette betyr at tettheten bare er positiv for positive verdier, der sannsynlighetsdensitetselementet er gitt av

$$ f_ \ alpha (x) dx = \ frac {1 } {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x}. $$

(Hvis du er nysgjerrig, uttrykket $ dx / x $ er forklart på https://stats.stackexchange.com/a/185709 . Hvis du ikke liker det, erstatter du $ x ^ \ alpha dx / x $ med $ x ^ { \ alpha-1} dx $ .)

Husk at normaliseringskonstanten er der for å gjøre integralen til $ f_ \ alpha (x) dx $ enhet, hvorfra vi kan utlede at

$$ \ begin {align} \ Gamma (\ alpha) & = \ Gamma (\ alpha) (1) = \ Gamma (\ alpha) \ int_0 ^ \ infty f_ \ alpha (x) dx = \ frac {\ Gamma (\ alpha)} {\ Gamma (\ alpha )} \ int_0 ^ \ infty x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x} \\ & = \ int_0 ^ \ infty x ^ { \ alpha} e ^ {-x} \ frac {dx} {x}. \ end {align} \ tag {1} $$

Det spiller ingen rolle hvilket nummer $ \ Gamma (\ alpha) $ er det faktisk. Det er tilstrekkelig å se at det er veldefinert og endelig gitt $ \ alpha \ gt 0 $ og ellers avviker.

La oss nå slå på reglene for forventning. » loven til den ubevisste statistikeren » sier forventningen om en hvilken som helst funksjon av $ X $ , for eksempel $ X ^ p $ for noe kraft $ p $ (som vanligvis positiv, men kan være negativ og til og med kompleks), oppnås ved å integrere den funksjonen til $ x $ mot tettheten:

$$ E [X ^ p] = \ int_0 ^ \ infty x ^ p \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac { dx} {x}. $$

Det er på tide å stirre. Når vi ignorerer integralen, er integranden et enkelt nok uttrykk. La oss omskrive det ved hjelp av reglene for algebra, og i prosessen flytte den konstante verdien på $ 1 / \ Gamma (\ alpha) $ ut av integralen:

$$ E [X ^ p] = \ frac {1} {\ Gamma ( \ alpha)} \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ a lpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x}. \ tag {2} $$

Det skal se veldig kjent ut: det » s akkurat som en annen funksjon for gammadistribusjonstetthet, men med kraften $ p + \ alpha $ i stedet for $ \ alpha $ . Ligning $ (1) $ forteller oss umiddelbart , uten videre tenkning eller beregning, at

$$ \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x} = \ Gamma (p + \ alpha). $$

Hvis du kobler dette til høyre for $ (2) $ gir

$$ E [X ^ p] = \ frac {\ Gamma (p + \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)}. $$

Det ser ut til at vi bedre hadde (den virkelige delen av) $ p + \ alpha \ gt 0 $ for at dette skal konvergere, som nevnt tidligere.

Som en dobbeltsjekk kan vi bruke formelen vår til å beregne de første øyeblikkene og sammenligne dem med, si hva div id = «c6b3069f86»>