Forvirring angående beregning av grunnleggende periode?

De trigonometriske funksjonene er i det vesentlige eksponensielle. Dermed tilsvarer en dobling av argumentet en kvadrering av funksjonen (på en måte). I dette tilfellet kan det sees ved å bruke formelen for vinkeltillegg:

$$ \ begin {align} \ cos (2 \ theta) & = \ cos (\ theta + \ theta) \\ & = \ cos (\ theta) \ cos (\ theta) – \ sin (\ theta) \ sin (\ theta) \\ & = \ cos ^ 2 (\ theta) – (1- \ cos ^ 2 (\ theta)) \\ & = 2 \ cos ^ 2 (\ theta) – 1 \ end {align} $$

Making

$$ \ cos ^ 2 (\ theta) = \ frac {\ cos (2 \ theta) + 1} {2} $$

Bruk den på din ligning:

$$ x (t) = \ cos ^ 2 (4 \ pi t) = \ frac {\ cos (8 \ pi t) + 1 } {2} $$

Fra dette er det ganske klart at den grunnleggende perioden er 0,25 da det gjør $ 8 \ pi t = 2 \ pi $ .

På forespørsel:

$$ \ begin {aligned x (t) & = \ cos ^ 3 (4 \ pi t) \\ & = \ left (\ frac {e ^ {i 4 \ pi t} + e ^ {- i 4 \ pi t}} {2} \ right) ^ 3 \\ & = \ frac {1} {8} \ left (e ^ {i 12 \ pi t} + 3 e ^ {i 4 \ pi t} + 3 e ^ {- i 4 \ pi t} + e ^ {- i 12 \ pi t} \ right) \\ & = \ frac {1} {4} \ venstre [\ cos (12 \ pi t) + 3 \ cos (4 \ pi t) \ høyre] \\ \ end {justert} $$

Du bør kunne finne ut derfra. Merk at den kvadratiske saken kunne vært behandlet på samme måte.

Jeg bruker denne teknikken mye for disse formlene:

• Nøyaktige nær øyeblikkelig frekvensformler best på toppene (del 1)
• Nøyaktig nær øyeblikkelig frekvensformler best på toppene (del 2)
• Nøyaktig nær øyeblikkelig frekvensformler best ved nullkryssinger

Kommentarer

• Vennligst vennligst oppdater 2. siste linje i svaret ditt. Det er grunnleggende periode som er 0,25 ikke grunnleggende frekvens
• @Man Ferdig, god fangst. Beklager det.
• Vennligst oppdater litt svaret ditt for å dekke behovet for oppdatert spørsmål
• @Man Slutt å skifte målstolpene. n = 3,4,5 … kan beregnes i henhold til mønsteret. sluttresultatet er $ n4 \ pi T = 2 \ pi $ som er det samme som $ T = 1 / (2n) $

Dette virker som et mer semantisk problem.

Et signal er periodisk med tiden $ T $ hvis

$$ x (t + n \ cdot T) = x (t), n \ i \ mathbb {Z} $$

Så signalet er periodisk i $ 0,5 $ siden for $ T = 0.5 \ cdot n $ argumentet til cosinus er et helt tallmultipel av $ 2 \ pi $ . Siden det er periodisk i $ 0,5 $ , er det også periodisk i alle heltallsmultipler av $ 0,5 $ , dvs. $ 1 $ , $ 1,5 $ , $ 2 $ osv.

I dette tilfellet er det også periodisk i $ 0,25 $ siden $$ \ cos ^ 2 (4 \ cdot \ pi \ cdot t) = 0,5 \ cdot (1+ \ cos (8 \ cdot \ pi \ cdot t)) $$

Så ethvert periodisk signal har en uendelig antall perioder, den grunnleggende er den minste, og alle de andre er heltallmultipler av det grunnleggende.

Hvis det hjelper noe, generer en enhetsamplitude sinusbølge ved 1 Hz og dens kvadrat:

Så ser sinusbølgen og firkanten slik ut:

Du kan se likestrømskomponenten: gjennomsnittsverdien til den kvadratiske sinusbølgen (gjennomsnitt over et helt antall perioder) er 1/2. Og den røde sinusbølgefrekvensen er nøyaktig doblet, så perioden halveres. DC og doblet frekvens er «beatfrekvenser» oppnådd ved å multiplisere sinusbølgen med seg selv.

Kommentarer

• hvilken programvare bruker du?
• Jeg bruker et kommersielt simuleringsprogram kalt Extend (eldre versjon) og ExtendSim (nyere versjoner), fra Imagine That, Inc. Disse er utvidet med fire biblioteker med blokker jeg begynte å utvikle tilbake i 1990. Bibliotekene mine, kalt LightStone, er gratis tilgjengelig, med full kommentert kildekode. URL-en for bibliotekene mine er umass.box.com/v/LightStone . Jeg vil oppdatere bibliotekene innen utgangen av uken slik at de jobber med den nyeste ExtendSim 10.0.6-versjonen (skal bare være en kompilering). Modellen ovenfor ble gjort med Extend 6.0.8 på en gammel Mac (jeg liker hvordan den ser ut).
• Takk, jeg ' Sjekk den ut: )