Her «er et sannsynlighetsspørsmål (sannsynligvis veldig enkelt) Jeg er ikke sikker på hvordan jeg skal løse:
Gamma distribusjon $ X \ sim \ mathcal {G} (\ alpha, \ beta) $ med $ \ mu = 20 $ og $ \ sigma ^ 2 = 80 $
$ P (X \ le 24) $ =?
Det forrige spørsmålet var å finne verdiene til $ \ alpha $ og $ \ beta $, som jeg gjorde med $ \ mu $ = $ \ alpha $$ \ beta $ og $ \ sigma ^ 2 $ = $ \ alfa $$ \ beta ^ 2 $.
For gammadistribusjon cdf sier læreboka mi $ P (X \ le x) = F (x; \ alpha, \ beta) = F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ hvor $ F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ er standard gammafordeling cdf $$ F (x; \ alpha, 1) = \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} \ int_0 ^ x { y ^ {\ alpha-1} e ^ {- y}} \ text {d} y $$
For å integrere det ser det ut til at jeg trenger å bruke kjederegelen, men professoren vår gjorde det aldri et eksempel. Finnes det en snarveimetode? Vi har aldri brukt integrering i et reelt eksempel, bare for å definere pdf og få cdf for forskjellige distribusjoner.
Rediger
Eksemplene i min lærebok som involverer standard gammadistribusjonsproblemer, sier å slå opp verdiene for $ F (x; \ alpha) $ i tabell A.4 i vedlegget. Da jeg så, manglet tabell A.4, noe som virkelig skuffer meg. Er det noen standard gammadistribusjonstabeller på nettet som jeg kan skrive ut og levere med oppgaven? Jeg sjekket Wolfram Alpha, men de hadde ikke en. Casio har noe , men jeg er ikke sikker på hva form og skala parametere er.
Rediger 2
Fant tabellen. Foran i boken kom tabell A.5 rett etter A.3, derfor trodde jeg at A.4 manglet. Jeg dro til biblioteket for å se om de hadde samme lærebok, de hadde det, og noen hadde sunn fornuft (som jeg ikke hadde) å se bak i boka, og der var den. Du trenger ikke mer hjelp.
Kommentarer
- Du må integrere etter deler gjentatte ganger begynner med $ u = y ^ {\ alpha-1} $ og $ v = -e ^ {- y} $, $ dv = e ^ {- y} dy $, og $$ \ int u dv = uv – \ int v du. $$ Hver gang du gjør det, vil du få en integral med en mindre eksponent for $ y $. Hvis $ \ alpha $ er et helt tall, vil du kunne fullføre prosessen. Hvis $ \ alpha $ ikke er et helt tall, er ting mer kompliserte.
- @dilip, du bør legge inn kommentaren din som svar.
- @DilipSarwate, det er ingen lukket skjemaløsning for $ \ alpha $ ikke-heltall, denne cdf er da ufullstendig gammafunksjon .
- Og jeg tviler sterkt på at integrering delvis var målet av øvelsen.
- wolframalpha.com/input/?i=CDF [GammaDistribution [5%2C+4 ]%2C+24 ]
Svar
Som foreslått av sannsynlighetslogikk, blir min kommentar konvertert til et svar.
Du må integrere etter deler gjentatte ganger som begynner med $ u = y ^ {\ alpha -1} $, $ v = −e ^ {- y} $, $ \ mathrm dv = e ^ {- y} \ mathrm dy $, og bruker $$ \ int_0 ^ xu \ \ mathrm dv = uv \ biggr | _0 ^ x – \ int_0 ^ xv \ \ mathrm du. $$ Siden $ \ mathrm du = (\ alpha-1) y ^ {\ alpha-2} \ mathrm dy $, hver gang du gjør en integrering av deler, vil få en integral med en mindre e xponent for $ y $ på høyre side. Hvis $ \ alpha $ er et helt tall (som det er i dette spesielle tilfellet), vil du kunne fullføre prosessen med en $ \ int_0 ^ x e ^ {- y} \ mathrm dy $. Hvis $ \ alpha $ ikke er et helt tall, er ting mer komplisert fordi det ikke er noe generelt lukket formuttrykk for $ \ int_0 ^ xy ^ {\ gamma} e ^ {- y} \ mathrm dy $ hvor $ 0 < \ gamma < 1 $. Som bemerket av Xi «an, er cdf den ufullstendige gammafunksjonen, og dens numeriske verdier er blitt tabellert.
Hvis integrering av deler er ikke poenget med denne øvelsen som foreslått i kommentaren til Elvis kan det være lurt å sjekke om professoren din vil at du skal tenke på verdien av en gamma-tilfeldig variabel som en ankomsttid i en tilfeldig Poisson-prosess og løse problemet fra det synspunktet.
Kommentarer
- Finnes det en online tabell for forskjellige verdier av x og alfa? Læreboka mi har bare tabeller for standard normale kurver og t-distribusjoner. Jeg prøvde å lete etter en, men fant for mange Chi-firkanttabeller i stedet
- Jeg vet ikke ' om en online tabell, men MATLAB vil beregne verdier for deg , og jeg antar at R eller Mathematica eller Wolfram Alpha eller Maple eller … etc ville gjøre det samme.