Frog Riddle – Conditional Probabilities

La oss se på froskeparet. Mannlige frosker identifiseres ved å hake i videoen.

Som forklart i videoen, før vi hører noe hakking, er det 4 like sannsynlige resultater gitt 2 frosker:

• Frosk 1 er hann, frosk 2 er mann
• frosk 1 er kvinne, frosk 2 er mann
• frosk 1 er mann, frosk 2 er Kvinne
• Frosk 1 er Kvinne, Frosk 2 er Kvinne

Gjør antakelsene om menn og kvinner som forekommer likt og uavhengig, vårt prøveområde er $ \ {(M, M), (F, M), (M, F), (F, F) \} $, og vi har sannsynligheten $ 1/4 $ for hvert element.

Nå, når vi hører skjelven kommer fra dette paret, vet vi at minst en frosk er hann. Dermed er begivenheten $ (F, F) $ umulig. Vi har da en ny, redusert prøveplass indusert av denne tilstanden: $ \ {(M, M), (F, M), (M, F) \} $. Hver gjenværende mulighet er fortsatt like sannsynlig, og sannsynligheten alle hendelsene som legges sammen må være $ 1 $. Så sannsynligheten for hver av disse tre hendelsene i det nye prøveområdet må være $ 1/3 $.

Den eneste hendelsen som ender dårlig for oss er $ (M, M) $, så det er $ 2 / 3 $ sjanse for å overleve.

---

Mer formelt sier definisjonen av betinget sannsynlighet:

$$ P (A | B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (B)} $$ Så hvis $ A $ er hendelsen at minst en kvinne er til stede og $ B $ er den hendelsen at minst en mann er til stede, har vi: \ begin {align} P (\ text {F gitt minst 1 M}) & = \ frac {P (\ text {F og minst 1 hann})} {P (\ text {at minst 1 M})} \\ & = \ frac {P (\ text {1 M og 1 F})} {P (\ text {1 M eller 2 M}) } \\ & = \ frac {P [(M, F), (F, M)]} {P [(M, M), (F, M), ( M, F)]} \\ & = \ frac {1/2} {3/4} = 2/3 \ end {align}

Dette er egentlig den samme prosedyren som vi resonnerte som ovenfor.

Kommentarer

• Hei mb7744, takk for rask respons. Jeg forstår svaret slik det er lagt ut, men dette ser for meg ut som dobbelt telling, det er grunnen til at jeg ‘ sliter med å akseptere svaret. (M, F) = (F, M), sikkert, og hvis ikke, hvorfor?
• (M, F) og (F, M) er ikke den samme hendelsen. Hvis den ene frosken heter Alex og den andre frosken heter Taylor, kan Alex være kvinnen og Taylor den mannlige ELLER omvendt. Alex og Taylor vil sannsynligvis være uenige i at dette skillet er meningsløst. Nå kan du se på de to hendelsene som likeverdige.Imidlertid er de tre resultatene dine (M, M), (F, F) og (M, F) ikke like sannsynlige. Den blandede sammenkoblingen er dobbelt så sannsynlig. Dette er den samme grunnen til at det er mye større sannsynlighet for at du kaster en 7 på et terningpar enn en 2, selv om du ser på alle de forskjellige måtene å kaste 7 på som likeverdige.
• Hei, jeg tror dette hjelper med å avklare hvor jeg ‘ m ikke ‘ får ‘ gåten. Hvis jeg kan gjenta problemet mens jeg ‘ ser det, bytter du ut frosken med et myntkast (eller terningkast). Hvis du måtte vende to mynter og ekskludere visse kombinasjoner, ville jeg helt akseptere svaret. I gåten ‘ analogi, leser jeg dette da vi bare får en myntkast. Den andre er allerede laget og kan ikke endre resultatet av den andre. Å ikke vite hvilket av de to utfallene som allerede er bestemt, tillater oss ikke ‘ å snu to mynter og velge hvilke utfall som skal inkluderes eller ekskluderes. Så ved å bruke terningkast-analogien …..
• … får du kaste to terninger, men ukjent for deg en terning ‘ utfallet har allerede vært besluttet. Du har bare 1/6 sjanse til å lage et hvilket som helst nummer 7-12. Har jeg feil her?
• Hvis vi ser på alle parene med like sannsynlige utfall i terningkast, er rekkefølge viktig . Tenk deg at den ene døen er blå og den andre røde, og vi skriver resultatene våre med den blå dør først og den røde dør sist. Da er utfallet (1,2) ikke det samme som utfallet (2,1). Og som før vil sannsynligheten for å rulle en » 1 og en 2, uansett rekkefølge » være dobbelt så mye som, si , rullende et par 2-er. For det siste spørsmålet ditt antar jeg at du mente å si at en dø ‘ s utfall ble bestemt til å være 6 . I så fall har du rett.

Siden matematikken allerede er lagt ut, vil jeg prøve å gi litt intuisjon. Problemet er at det å vite at minst en frosk er hann er forskjellig fra å vite at en hvilken som helst bestemt frosk er hann. Den tidligere saken bærer mindre informasjon, og dette øker effektivt sjansene våre for den siste situasjonen .

Ring froskene til venstre og høyre, og antar at vi får beskjed om at den rette frosken er hann. Da har vi eliminert to mulige hendelser fra prøveområdet: hendelsen der begge frosker er kvinner og hendelsen der den venstre frosken er hann og den høyre frosken er kvinne. Nå er sannsynligheten virkelig halvparten, og det spiller ingen rolle hvilken vi velger. Nøyaktig det samme argumentet er sant hvis vi lærer at den venstre frosken er hann.

Men hvis vi bare får beskjed om at minst en frosk er hann, det er det som skjer når vi hører skjelven, så kan vi ikke eliminere hendelsen at venstre frosk er hann og høyre frosk er kvinne. Vi kan bare eliminere hendelsen at begge er kvinner, noe som gjør at hendelsen at minst en er kvinne mer sannsynlig enn den forrige innstillingen.

Jeg tror årsaken til at dette er forvirrende er at vi naturlig tenker å lære at minst en er mann skal gjøre oss uvillige til å velge froskeparet. Det er sant at denne informasjonen gjør det mindre sannsynlig at minst en er kvinne, men erkjenn også at det var hele tre fjerdedels sjanse for minst en kvinne før vi i det hele tatt lærte noe. Det er tvetydigheten av informasjonen vi mottar, noe som gjør at vi fortsatt skal foretrekke de to froskene fremfor den ene.

Kommentarer

• Takk dsaxton, intuitivt valgte jeg de to froskene, men resonnementet mitt fortalte meg at begge valgene var like sannsynlige.
• Takk dsaxton, jeg mistenker at det ‘ s formuleringen av gåten som kaster meg. Som møtt er de to froskene ikke å skille mellom (uten ytterligere informasjon), så jeg ser ikke (M, F), (F, M) skillet som meningsfullt i dette kontekst. Jeg er ikke overbevist om at resonnementet mitt er feil, men jeg beklager hvis jeg bare er litt treg.
• Takk igjen dsaxton. Som nevnt ovenfor ‘ har funnet den mentale hengingen jeg hadde og kan se nå hvorfor svaret er det riktige svaret (og spørsmålet jeg faktisk prøvde å svare på). Takk igjen for hjelpen, å se svaret er bare ikke det samme som å ha hjelpen til å virkelig forstå det.

Din intuisjon er riktig i dette tilfellet. Som problemet er oppgitt er oddsen for overlevelse 50%. Videoen angir feilrommet feil basert på informasjonen vi har, og kommer derfor til en feil konklusjon. Riktig problemplass inneholder 8 forhold og er som følger.

Vi har to frosker på en tømmerstokk, og en av dem har hakket hva er mulighetene våre?(M betegner hann, F betegner kvinne og c betegner hakket, første posisjon er igjen, andre posisjon er høyre)

[ [Mc, M], [M, Mc], [Mc, F], [M, Fc], (X No Male croak) [Fc, M], (X No Male croak) [F, Mc], [Fc, F], (X No Male croak) [F, Fc], (X No Male croak) ] 

Hvert tilfelle er like sannsynlig basert på informasjon vi har når vi eliminerer forholdene gitt kunnskapen om at en frosk hann har hakket. Vi finner at det er fire utfall å forvente. Venstre mannlig frosk hakket ved siden av en høyre hann frosk som var stille. Høyre hann frosk hakket ved siden av en venstre hann frosk som var stille. Eller det var en kvakende mannlig frosk parret med en enkelt kvinnelig frosk i begge retninger. For en intuitiv måte å forstå dette på, er det to ganger så sannsynlig at de to froskene kvaker enn den eneste mannlige frosken parret med en hunn, så vi må veie den riktig.

Du kan også dele søkeområdet ved å hake frosk (C) og ikke hake frosk (N). Siden den hakende frosken er 100% en hann, kan du fjerne den fra søket ditt, siden det ikke har noen sjanse til å hjelpe deg med å overleve. Mens forfatteren hadde til hensikt å skape et «monty hall-problem», skapte de utilsiktet et «gutt- eller jenteparadoks».

Følgende spørsmål gir forskjellige resultater:

Gitt at det er en mann, hva er sannsynligheten for at den andre er kvinne?

Gitt at en mannlig frosk hakket hva er sannsynligheten for at den andre er kvinne?

Jeg vet mer informasjon i det andre tilfellet

https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

Et tydeligere svar på dette, siden det forrige var for langt og ikke lett å forstå.

De mulige resultatene er forskjellige, selv om jeg brukte de samme bokstavene. For å klargjøre prøveområdet, vil jeg beskrive de mulige resultatene

MM -> «The hann er til venstre «-» En tilfeldig hann til høyre «

MF -> «Hannen er til venstre» – «En tilfeldig kvinne til høyre»

MM – -> «Hannen er til høyre» – «En tilfeldig hann til venstre»

MF -> «Hannen er til høyre» – «En tilfeldig kvinne til venstre»

Kommentarer

• Du teller MM sak. Du kan ‘ ikke bare telle opp alle mulige scenarier uten å ta hensyn til om du ‘ kommer fram til det samme scenariet gjennom forskjellige baner.

Problemet jeg har med dette problemet, er at løsningen ser ut til å bruke forskjellige regler for hva den anser et mulig resultat for de to froskene som er hann og kvinne, og mann og mann.

F / M-paret, og M / F-paret, er forskjellige fordi vi ikke vet om det første frosk eller den andre frosken er hann, så F / M og M / F er to separate muligheter, selv om resultatet fremdeles utgjør «en kvinnelig frosk, en mannlig frosk».

Men M / M par betraktes bare som et mulig resultat, selv om den samme logikken burde gjelde: vi vet ikke hvilken frosk som var den som fikk kvakingen til å lyde, så enten frosken kunne være den vi hørte, og den andre kunne fortsatt være hann , det skjedde bare ikke å skjele.

Kommer ts

• Dette er mer i karakteren av en kommentar enn et svar på » gåten. » Endre det til en kommentar og slett dette » svaret. »
• @DJohnson Egentlig er dette et svar på gåten, selv om det senere svaret fra tomciopp forklarer det tydeligere.

Uten å vite noe: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M), (F, F) \} $ . Tre par med minst en kvinne av fire mulige kombinasjoner: $ 3/4 $ eller $ 75 \% $

Å vite at den første er mannlig: $ \ {(M, M), (M, F) \} $ . Ett par med minst en kvinne av to mulige kombinasjoner: $ 1/2 $ eller $ 50 \% $

Å vite at det er minst en mann: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M) \} $ .To par med minst en kvinne av tre mulige kombinasjoner: $ 2/3 $ eller $ 67 \% $

Før vi hører noe hakking, er det 4 like sannsynlige resultater gitt 2 frosker:

Frosk 1 er hann, frosk 2 er mann

frosk 1 er kvinne, frosk 2 er mann

frosk 1 er hann, frosk 2 er kvinne

frosk 1 er Kvinne, Frosk 2 er Kvinne

Gjør antakelsene om menn og kvinner som forekommer likt og uavhengig, vårt prøveområde er {(M, M), (F, M), (M, F), ( F, F)}, og vi har sannsynlighet 1/4 for hvert element.

Når vi hører skjelven komme fra dette paret, vet vi at minst en frosk er hann. Denne hannen kan like sannsynlig være Frosk 1 eller Frosk 2. Så det er 2 like sannsynlige resultater for Frosken 1:

Frosk 1 er hann

Frosk 1 er tilfeldig frosk

Gjør antakelsene om menn og kvinner som forekommer likt og uavhengig, er tilfeldig frosk like sannsynlig å være en tilfeldig mann eller en tilfeldig kvinne.

P (frosk 1 er tilfeldig mann gitt frosk 1 er Tilfeldig frosk) = P (frosk 1 er tilfeldig kvinne gitt frosk 1 er tilfeldig frosk) = 1/2

P (frosk 1 er tilfeldig mann og frosk 1 er tilfeldig frosk) = P (frosk 1 er tilfeldig Frosk) P (Frosk 1 er tilfeldig mann gitt Frosk 1 er tilfeldig frosk) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (Frosk 1 er Tilfeldig kvinne og frosk 1 er tilfeldig frosk) = P (frosk 1 er tilfeldig frosk) P (frosk 1 er tilfeldig kvinne gitt frosk 1 er tilfeldig frosk) = (1/2) (1/2) = 1/4

Så det er 3 mulige utfall for frosken 1:

Frosk 1 er mann

Frosk 1 er tilfeldig mann

Frosk 1 er tilfeldig kvinne

og sannsynlighetene er:

P (frosk 1 er mann) = 1/2

P (frosk 1 er tilfeldig mann ) = 1/4

P (Frog 1 er tilfeldig kvinne) = 1/4

Nå, for hvert mulige utfall for Frog 1, er det 2 mulige utfall for Frog 2:

Frog 2 er hann

Frosk 2 er tilfeldig frosk

For hvert mulig utfall for frosk 1 er det sannsynlig at tilfeldig frosk er en tilfeldig mann eller en tilfeldig kvinne.

Så for hvert mulige utfall for frosk 1 er det 3 mulige resultater for frosken 2:

frosk 2 er mann

frosk 2 er tilfeldig mann

Frosk 2 er tilfeldig kvinne

P (Frosk 2 får mann Frosk 1 er mann) = 0

P (Frosk 2 får mann Frosk 1 er tilfeldig mann) = 1

P (frosk 2 er mann gitt frosk 1 er tilfeldig kvinne) = 1

P (frosk 2 er tilfeldig mann gitt frosk 1 er mann) = 1/2

P (frosk 2 er tilfeldig mann gitt frosk 1 er tilfeldig mann) = 0

P (frosk 2 er tilfeldig mann gitt frosk 1 er tilfeldig kvinne) = 0

P (Frosk 2 er tilfeldig kvinne gitt frosk 1 er mann) = 1/2

P (Frosk 2 er tilfeldig kvinne gitt frosk 1 er tilfeldig mann) = 0

P (frosk 2 er tilfeldig kvinne gitt frosk 1 er tilfeldig fe hann) = 0

P (Frosk 2 er tilfeldig hann og frosk 1 er mann) = P (frosk 1 er mann) P (frosk 2 er tilfeldig mann gitt frosk 1 er mann) = ( 1/2) (1/2) = 1/4

P (Frosk 2 er tilfeldig kvinne og frosk 1 er mann) = P (frosk 1 er mann) P ( Frosk 2 er tilfeldig kvinne gitt frosk 1 er mann) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (frosk 2 er mann og frosk 1 er tilfeldig mann) = P (Frosk 1 er tilfeldig hann) * P (Frosk 2 får mann Frosk 1 er tilfeldig hann) = (1/4) * 1 = 1/4

P (Frosk 2 er hann og frosk 1 er tilfeldig kvinne) = P (frosk 1 er tilfeldig kvinne) * P (frosk 2 får mann frosk 1 er tilfeldig kvinne) = (1/4) * 1 = 1/4

Så, vår prøveområdet er {(Mann, Tilfeldig Mann), (Mann, Tilfeldig Kvinne), (Tilfeldig Mann, Mann), (Tilfeldig Kvinne, Mann)}, og vi har sannsynlighet 1/4 for hvert element.

P (F gitt minst 1 M) = P (F og minst 1 hann) / P (minst 1 M) = P (1 M og 1 F) / P (1 M eller 2 M) = P [( Mann, Tilfeldig Kvinne), (Tilfeldig Kvinne, Mann)] / P [(Mann, Tilfeldig Mann), (Mann, Tilfeldig Kvinne), (Tilfeldig Mann, Mann), (Tilfeldig Kvinne, Mann)] = (1/2) / (4/4) = 1/2

Kommentarer

• Kopierte og limte du inn fra svaret mitt og fjernet formateringen?
• Vel, først og fremst, kopiere og lime inn en del av noen andre ‘ s svar uten å nevne det er uakseptabelt. Bortsett fra, hvis du tror at du har nådd et annet resultat, er det en mer kortfattet måte for deg å forklare det på? Du har skrevet mange frakoblede ligninger uten noen forklaring.
• Det ‘ er ikke litteratur, men det er fortsatt frekt. Nå, når det gjelder svaret ditt mot mitt: Jeg synes det er tullete. Hva er meningen med utfallet » Frosk 2 er tilfeldig frosk «?
• Svaret ditt var det eneste beregning av betingede sannsynligheter. Å bruke de samme begrepene kan hjelpe deg med å sammenligne og se hvilken del som er den samme og hvilken som er forskjellig. Jeg kan si at jeg også finner andre svar meningsløse, men jeg sa det ikke fordi det ville være frekt;). Hvis du ikke forstår sth, kan du be om avklaring. » Frosk 2 er tilfeldig frosk » betyr at det ikke er den mannlige frosken som er kjent i paret ….
• Det er to kilder til tilfeldighet, den ene kommer fra den mannlige frosken som er kjent i paret, den andre kommer fra froskepopulasjonen. Siden vi vet at den mannlige frosken er der, handler usikkerheten omtrent om posisjonen. Er det frosk 1 eller frosk 2? Eller er det til venstre eller til høyre? Mitt råd er å bruke trediagram for å bygge prøveplass fra bunnen av og bruke all tilgjengelig informasjon.