Jeg har brydd meg med motivasjonen bak å definere en firehastighet. I Schutz s Et første kurs i Generell relativitet , han bruker konseptet med en tangentvektor på hvert punkt i en verdenslinje av en partikkel gitt av $ x ^ \ mu = (ct, x, y, z ) $ . Og senere sier han at
\ begin {ligning} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {d \ tau} \ end {ligning}
Den matematiske forklaringen jeg fant for å bruke riktig tid som parameter som alle observatører er enige om, men jeg kan ikke innse hvilke problemer vi får med i stedet for denne definisjonen bruker vi relasjonen
\ begin {ligning} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {dt} \ end {ligning}
der $ t $ er tidsmål i noen treghetsramme S.
Kommentarer
- Jeg tror ikke ' at du ' skulle stille dette spørsmålet i det euklidiske rommet. Vurder en kurve $ \ vec {r} (\ lambda) = (x (\ lambda), y (\ lambda), z (\ lambda)) $. Deretter kan man skrive tangentvektorene som $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r } / d \ lambda $. ELLER vi kan følge det sistnevnte forslaget og bruke $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r} / dx $. Tangentvektoren vil fremdeles peke riktig vei, men ingen lang r er pent definert og definisjonen lar deg ikke lenger rotere på en måte som blander koordinatene opp siden den trekker frem $ x $.
- Forklarer ikke boken et sted at firhastigheten er definert på den måten slik at det er en Lorentz firvektor?
- @ jacob1729 kan du gi meg et eksempel? Jeg ' er ganske forvirret med dette emnet
Svar
@Milan har allerede svart på de tekniske problemene i definisjonen din.
Jeg vil påpeke konseptuelle problemer. Vi ønsker at 4-hastigheten på en eller annen måte skal karakterisere bevegelsen til et objekt gjennom romtiden. Konseptuelt er det fornuftig å kreve at slik mengde bare skal avhenge av mengdene som har direkte tilknytning til den bevegelsen. Så å bringe en tilfeldig observatørs tid som ikke har noe å gjøre med objektets bevegelse, ville være begrepsmessig merkelig beslutning. Det er fornuftig å definere 4-hastighet som en tangentvektor til objektenes verdenslinje, fordi denne matematiske enheten er direkte knyttet til Det og dermed også med objektbevegelse. Selvfølgelig trenger vi noen parametrisering av verdenslinjen, som ville være ideell naturlig for verdenslinjen / bevegelsen i seg selv og ikke er avhengig av noen eksterne størrelser. Siden i romtiden har hvert objekt sine egne klokker, Denne kurven parametriseres naturlig av klokken til selve objektet, det vil si – av riktig tid.
Merk at på denne måten trenger du ikke å snakke om Lorentz-gruppen i det hele tatt. Da jeg først lærte om 4-hastighet, følte beslutningen om å bruke riktig tid i derivatet for meg som en tilfeldig beslutning bare for å ta noen Lorentz 4-vektorer. Men det har faktisk dypere geometriske grunner, som jeg prøvde å forklare.
Kommentarer
- Kan du anbefale noen relativitetsbøker som forklarer disse emnene som du forklarte?
- @Lil ' Gravity egentlig ikke, men jeg kan gi deg tre bøker som skiller seg ut for meg personlig. Misner, Wheeler, Thorne – Gravitation forklarer generell relativitet og differensialgeometri på veldig intuitivt nivå – sammen med fysiske motivasjoner for det meste av matematikken, og Wald – General Relativity er en flott bok for mer formell, geometrisk tilnærming for å se klart hvordan begrepene er definert abstrakt uten behov for koordinatsystem. Så er det Fecko – Differensialgeometri og Liegrupper for fysikere, som jeg anser for å være den beste læreboken om differensialgeometri.
Svar
Den første definisjonen forvandles som en firevektor: $ \ dfrac {dx ^ {» \ mu}} {d \ tau} = \ Lambda ^ {\ mu } {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau} $ .
Den andre definisjonen transformeres ikke helt som en firvektor: $ \ dfrac {dx ^ {«\ mu}} {dt»} = \ dfrac {dt} {dt «} \ Lambda ^ {\ mu} {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {dt} $ .
Dette er fornuftig, siden du i den første definisjonen deler differensialene til en firvektor (som i seg selv også transformeres som en firer -vektor) av en skalar (invariant under Lorentz-gruppen).