Er det mulig å bruke Gauss lov om elektromagnetisme, (Netto elektrisk strøm gjennom en lukket overflate er lik $ 1⁄ \ epsilon $ ganger netto elektrisk ladning innesluttet i den overflaten.) for å beregne gravitasjonsfeltet ved punktet ved å gjøre visse endringer, dvs. ved å erstatte elektrisk strøm med gravitasjonsstrøm, $ 1⁄ \ epsilon $ med $ 1 / (4 \ pi \, G) $, og belaste med masse?
Kommentarer
- Se f.eks. Wikipedia .
Svar
Ja, du kan bruke Gauss lov for tyngdekraften.
$$ \ nabla \ cdot \ vec {g} = 4 \ pi \, G \, \ rho $$
eller
$$ \ oint \ vec {g} \ cdot \ mathrm {d} \ vec {a} = 4 \ pi \, G \, M_ \ mathrm {enc} $$
hvor $ \ vec {g} $ er gravitasjonsfeltet (tilsvarende akselerasjon på grunn av tyngdekraften), er $ \ rho $ massetetthet, og $ M_ \ mathrm {enc} $ er den totale massen som er omsluttet av den Gaussiske overflaten.
Når du lager sammenligningen n til Gauss lov for elektriske felt, kan du se hvordan konstantene fungerer slik de gjør:
$$ E = \ frac {1} {4 \ pi \, \ epsilon_0} \ frac {Q} {r ^ 2}, \ quad \ quad g = G \, \ frac {M} {r ^ 2}, $$
så $ 1 / \ epsilon_0 \ rightarrow 4 \ pi \ , G $.
En vanlig bruk for Gauss lov for tyngdekraften er å bestemme tyngdefeltstyrken på en gitt dybde inne i jorden. Det ligner veldig på beregningen for det elektriske feltet inne i en ladet, isolerende sfære.
Kommentarer
- I mitt opprinnelige innlegg rotet jeg opp konstantene … fikset
- Faktisk den nære matchen mellom feltstrømmen i Einstein ' s behandling til Newton ' s for et sfærisk symmetrisk svakt felt kan demonstreres ved hjelp av denne Gauss ' Lovtilnærming.
Svar
Gauss Law for Gravity sier i utgangspunktet at den totale gravitasjonsstrømmen som kommer fra en sfære som omslutter jorden, er $ 4 \ pi GM $ .
Del dette nå med kuleens totale overflate $ 4 \ pi R ^ 2 $ med $ R $ Jordens radius.
Resultatet er $ \ frac {GM} {R ^ 2} $ som gir gravitasjonsstrømmen tetthet. Hvis du beregner det numeriske resultatet får du $ 9,81 \ mathrm {m / s ^ 2} $ .