Gravitasjonsakselerasjon på Månen og Mars

La » s se hvordan akselerasjonen på grunn av tyngdekraften oppnås for en hvilken som helst planet, og så kan vi bruke dette på jorden eller månen eller hva vi vil.

Newtons gravitasjonslov forteller oss at størrelsen på gravitasjonskraft mellom til objekter med massene $ m_1 $ og $ m_2 $ er gitt av \ begin {align} F = G \ frac {m_1m_2} {r ^ 2}, \ end {align} hvor $ r $ er avstanden mellom messesentre. Anta nå at objekt 1 er en planet med masse $ m_1 = M $ og radius $ R $, og objekt 2 er et mye mindre objekt med masse $ m_2 = m $ plassert i en høyde $ h $ over planetens overflate det er lite sammenlignet med radiusen på planeten. Tyngdekraften mellom de to objektene vil være \ begin {align} F = G \ frac {Mm} {(R + h) ^ 2} \ end {align} derimot, forteller Newtons andre lov oss at akselerasjonen til objekt 2 vil tilfredsstille \ begin {align} F = ma \ end {align} Kombinere disse fakta, nemlig å sette høyre side like, får massen $ m $ til å falle ut av ligningene, og akselerasjonen på grunn av tyngdekraften til objektet med masse $ m $ blir \ begin {align} a = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} = \ frac {GM} {R ^ 2} \ venstre (1-2 \ frac {h} {R} + \ cdots \ right) \ end {align} hvor jeg i andre likhet har utført en Taylor-utvidelse av svaret i forhold til det lille tallet $ h / R $. Legg merke til at til null orden, nemlig det dominerende bidraget når objekt 2 er nær planetens overflate, er noe konstant som er uavhengig av høyden og bare avhenger av planetens masse og radius; \ begin {align} a_0 = \ frac {GM } {R ^ 2} \ end {align} Dette er akkurat det vi vanligvis kaller akselerasjon på grunn av tyngdekraften nær overflaten av en planet. Hvis du kobler inn tallene for Earth, får du \ begin {align} a_0 ^ \ mathrm {Earth} \ ca 9,8 \, \ mathrm {m} / \ mathrm {s} ^ 2 \ end {align} og jeg » La det være deg å bestemme antallet for andre planeter. Den viktige egenskapen til denne akselerasjonen på grunn av tyngdekraften er at den skalerer seg lineært med massen $ M $ på planeten, og den skalerer som den negative andre kraften til radiusen til planet.

Kommentarer

• Jeg tror det også er nyttig å nevne effekten av sentrifugalkraft på grunn av himmellegemets vinkelhastighet. $ a_c = \ frac {v ^ 2} {R} $$ En annen effekt av dette er at selve kroppen buler rundt ekvator, og øker overflateradiusen nær ekvator (senker nær polene).

Gravitasjonsakselasjonskonstanten definert som $ g $ for jorden avhenger av jordens masse og avstanden fra den. Formelen er $ g (r) = \ frac {GM (r)} {r ^ 2} $. (Se Newtons L aw av Universal Gravitation for mer informasjon). Så $ g $ er ikke konstant selv på jorden, men avhenger av høyden din, om enn ganske sakte. Hvis du er i månen, er massen til månen $ (~ 10 ^ {22} kg) $ mindre enn massen til jorden $ (~ 10 ^ {24} kg) $ og dermed gravitasjonskraften du vil føle, $ mg $ ville være langt mindre på grunn av at $ g $ var mindre, omtrent $ 1,62 m / s ^ 2 $.

Enhetene på $ g $ er også $ m / s ^ 2 $ og ikke $ N / s ^ 2 $

En enkel måte å tenke på dette på er å vurdere at tyngdekraftens akselerasjon, på overflaten av for eksempel en planetarisk kropp, i det vesentlige avhenger av to størrelser: kroppens masse og radius .

Overflateakselerasjonen øker med kroppens masse (hvis du dobler massen, dobler du akselerasjonen) og avtar med kvadratet av radiusen (hvis du dobler radien, akselereres kvartalet).

Så, for eksempel, er Månens radius omtrent 0,273 ganger Jordens radius, men Månens masse er omtrent 0,0123 Jordens masse. Så vi forventer at akselerasjonen på overflaten av Månen er

$ g_m = g_e (.0123) \ dfrac {1} {(. 273) ^ 2} \ approx \ dfrac {g_e} {6} $

og, helt sikkert, overflatenes tyngdekraft på omtrent $ 1,62 \ frac {m} {s ^ 2} $

Så hvis du vet massen og radius på, si, Mars, kan du bestemme overflatenes tyngdekraft på Mars som følger:

$ g_M = g_e \ dfrac {M_M} {M_e} \ cdot \ dfrac {R ^ 2_e} {R ^ 2_M} $