Gravitasjonsslynge maksimum

Man kan få et størrelsesestimat av maksimal hastighet som kan oppnås ved gravitasjonsslynger uten å gjøre noen reelle beregninger.

Resonnementet «grov fysikk» går som følger:

Gravitasjonsfeltet til planetene som brukes til slyngeskudd, må være sterkt nok til å «gripe» det fartsfylte romskipet. Ettersom en planet ikke kan «gripe» romskip som beveger seg raskere enn planetens rømningshastighet, er det umulig å kaste et romskip til hastigheter utover planetens rømningshastigheter.

Så uansett hvor ofte vår sol systemplaneter stiller seg opp og uansett hvor ofte du klarer å trekke av deg en perfekt gravitasjonsslynge, er du praktisk talt begrenset til hastigheter som ikke overstiger omtrent den maksimale rømningshastigheten i solsystemet (dvs. 80 km / s eller 0,027% av lysets hastighet , rømningshastigheten til Jupiter).

(Merk: ved å jobbe med veldefinerte baner kan man avgrense argumentet ovenfor og få alle de numeriske faktorene riktige.)

Kommentarer

• Jeg må være uenig med deg. Hvis du støter på et himmellegeme fra riktig vinkel, vil du fremdeles kunne oppnå banehastighet en gang når du vil ha en eksentrisitet på 1.4142, noe som betyr at den overstiger rømningshastigheten. Eller refererer du til at hyperbolsk overskytningshastighet er lik rømningshastigheten (som vil bety en eksentrisitet på 3), men dette vil fremdeles tillate en gevinst på omtrent 40% av banehastigheten. Det minker, men jeg tror fortsatt det er viktig.
• @fibonatic – Krangler du om faktorer $ 1,4 $ i et størrelsesorden estimat?
• 1.4 er ikke en størrelsesorden lavere enten.

Jo raskere du går, jo mindre hastighet kan du teoretisk få fra tyngdekraftsassistenten.

Årsaken til dette er at jo raskere du går jo vanskeligere er det å bøye banen. For å bevise dette må vi bruke lappete kjegler tilnærming, noe som betyr at mens det er i en sfære Kepler kretser kan brukes. Kulen kan forenkles til å være uendelig stor, siden bøyningen av den faktiske lappete kjeglen neppe vil bli påvirket av dette. Mens eksentrisiteten er lav (lik eller større enn en, siden det må være en rømningsbane), vil banen kunne være bøyd 360 ° og reversere den relative hastigheten til romfartøyet med himmellegemet, slik at endringen i hastigheten vil være dobbelt så høy som den relative hastigheten, som også er den teoretiske maksimale forsterkningen. Når eksentrisiteten øker, avtar denne vinkelen. Denne vinkelen kan avledes av følgende ligning:

$$ r = \ frac {a (1-e) ^ 2} {1 + e \ cos (\ theta)} $$

hvor $ r $ er avstanden fra romfartøyet til himmellegemets massesenter, $ a $ er den semi-store aksen, $ e $ er eksentrisiteten og $ \ theta $ er den sanne anomali.Semi-hovedaksen og eksentrisiteten bør forbli konstant under banen, så radiusen vil bare være en funksjon av den sanne anomali som per definisjon er lik null ved periapsis, og derfor vil den maksimale bøyemengden være omtrent det dobbelte av den sanne anomalien ved $ r = \ infty $, som betyr

$$ \ theta _ {\ infty} = \ lim_ {r \ to \ infty} \ cos ^ {- 1} \ left (\ frac {a (1 -e) ^ 2-r} {er} \ right) = \ cos ^ {- 1} (- e ^ {- 1}) $$

Når eksentrisiteten blir veldig høy, blir denne vinkelen 180 °, noe som betyr at banen i utgangspunktet er en rett linje.

Det er flere måter å endre eksentrisiteten på. I dette tilfellet vil de aktuelle variablene være:

• hyperbolsk overskytningshastighet , $ v_ \ infty $, som vil være lik til den relative hastigheten der romfartøyet «møter» himmellegemet, med dette mener jeg at himmelenes kule er veldig liten sammenlignet med skalaen til himmellegemene rundt solen, slik at den relative hastigheten kan være tilnærmet med forskjellen i banehastighet i forhold til solen, tilnærmet med en Kepler-bane ved et møte mellom de to når du bruker en bane som ignorerer samspillet mellom dem.
• Høyden på periapsis , $ r_p $, som i utgangspunktet er begrenset av himmellegemets radius (overflate eller ytre atmosfære).
• gravitasjonsparameter for himmellegemet, $ \ mu $.

$$ e = \ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} + 1 $$

Gravitasjonsparameteren er bare gitt for as spesifikke himmellegemer, siden en lavere eksentrisitet er ønskelig, bør periapsis derfor settes til den nedre grensen, himmellegemets radius. På denne måten er eksentrisiteten bare en funksjon av hyperbolsk overflødig hastighet og dermed den relative hastigheten til romfartøyet med himmellegemet.

Ved å bruke litt mer matematikk kan det vises hva endringen i hastighet ville være etter en så nær tyngdekraftsassistent. For dette bruker jeg et koordinatsystem med en enhetsvektor parallell med retningen til den relative møtehastigheten, $ \ vec {e} _ {\ parallel} $, og en vinkelrett enhetsvektor, $ \ vec {e} _ {\ perp } $:

$$ \ Delta \ vec {v} = -v_ \ infty \ left (\ left (\ cos {\ left (2 \ theta_ \ infty \ right)} + 1 \ right) \ vec {e} _ {\ parallel} + \ sin {\ left (2 \ theta_ \ infty \ right)} \ vec {e} _ {\ perp} \ right) = \ frac {2 {\ | \ vec { v} _ \ infty \ |}} {\ left (\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} + 1 \ right) ^ 2} \ left (\ sqrt {\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2 } {\ mu} \ left (\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} +2 \ right)} \ vec {e} _ {\ perp} – \ vec {e} _ {\ parallel} \ høyre) $$

$$ {\ | \ Delta \ vec {v} \ |} = \ frac {2 \ mu v_ \ infty} {r_p v_ \ infty ^ 2 + \ mu} $$

Når du planlegger disse verdiene for jorden, så $ \ mu = 3.986004 \ ganger 10 ^ {14} \ frac {m ^ 3} {s ^ 2} $ og $ r_p = 6.381 \ ganger 10 ^ { 6} m $ (jeg brukte ekvatorialradius pluss høyden hvor atmosfærisk effekt kan neglisjeres, 300 km), vil du få følgende resultater:

Hvis du vil t så høy som mulig hastighet, så vil du at denne hastighetsendringen vil være i retning av hastigheten din rundt solen. Hvis du har nok tid og banen er eksentrisk nok til at den krysser flere baner av himmellegemer, er det mange muligheter, men så snart du har en rømningsbane fra solen, passerer du i utgangspunktet hvert himmellegeme maksimalt en til tid.

Hvis du bare vil få en høyest mulig hastighet, vil du kanskje komme nærmere solen i en svært eksentrisk bane, siden «overflaten» unnslippehastighet er $ 617,7 \ frac {km} {s} $.

Kommentarer

• Hei fibonatisk, takk for svaret . Jeg har oppdatert spørsmål med tilleggsdata, ettersom jeg forstår at du bare trenger radius av planet, vekt og starthastighet for å gjøre beregningen. Hvis du trenger mer data, gi meg beskjed om at jeg får den til deg.
• Så maks gravitasjonsslynge vi kunne få ville være 0,002 lyshastighet google.co.uk/… som ville tatt oss 2000 år for å komme til Alpha Centauri google.co.uk/… Takk for flott svar.
• @MatasVaitkevicius Nei, siden du ved 0,002 c nær solens overflate ville ha en hastighet på null uendelig langt fra solen, eller når du passerer banen til Neptun, ville du blitt redusert til 7,7 km / s.

Dere tenker alt for hardt på dette. Slangebøsseeffekten handler om referanseramme. I forhold til kroppen du nærmer deg, må inngangshastighetsøkningen være lik utgangshastighetsreduksjon eller du bryter med enkle fysikklover (dvs. gravitasjon). Fra solsystem perspektivet vil du ha en netto gevinst i hastighet hvis du nærmer deg en planet fra riktig retning, ellers vil du ha en netto hastighetsreduksjon etter at du har gått ut.Den teoretiske maksimale hastighetsøkningen ved utgangen er derfor en funksjon av hastigheten til vertslegemet (slangebøsse) i referanserammen og tilnærmingsvektoren.